Lognormal og normal distribution

Matematikken bag finans kan være lidt forvirrende og kedelig. Heldigvis laver de fleste computerprogrammer komplekse beregninger. At forstå de forskellige statistiske vilkår og metoder, deres betydning og som bedst analyserer investeringerne er imidlertid afgørende, når man vælger den passende sikkerhed og får den ønskede effekt på en portefølje.

En vigtig beslutning er at vælge mellem normale kontra lognormale fordelinger, begge henvises ofte til i forskningslitteratur. Før du vælger, skal du vide:

• Hvad de er
• Hvilke forskelle findes der imellem
• Hvordan de påvirker investeringsbeslutninger

Normal versus lognormal

Både normal og lognormal fordeling anvendes i statistisk matematik til at beskrive sandsynligheden for, at en begivenhed opstår. At vende en mønt er et let forståeligt eksempel på sandsynlighed. Hvis du vender en mønt 1000 gange, hvad er fordelingen af ​​resultaterne? Det vil sige, hvor mange gange vil det lande på hoveder eller haler? Der er 50% sandsynlighed for, at det vil lande på enten hoveder eller haler. Dette grundlæggende eksempel beskriver sandsynligheden og fordelingen af ​​resultater.

Der er mange typer distributioner, hvoraf den ene er normal- eller klokkekurvefordelingen. (Se figur 1.)

I en normal fordeling falder 68% (34% + 34%) af resultaterne inden for et standardafvigelse, og 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) falder inden for to standardafvigelser. I midten (0-punktet på billedet ovenfor) er medianen (middelværdien i sættet), tilstanden (den værdi, der forekommer oftest), og middelværdien (aritmetisk gennemsnit) er de samme.

Den lognormale fordeling adskiller sig fra den normale fordeling på flere måder. En stor forskel er i dens form: den normale fordeling er symmetrisk, mens den lognormale fordeling ikke er. Da værdierne i en lognormal fordeling er positive, skaber de en retvinklet kurve. (Se fig. 2)

Denne skævhed er vigtig for at bestemme, hvilken distribution der er passende til at bruge i investeringsbeslutningen. En yderligere sondring er, at de værdier, der bruges til at udlede en lognormal fordeling, normalt fordeles.

Lad os afklare med et eksempel. En investor ønsker at vide en forventet fremtidig aktiekurs. Da lagrene vokser med en sammensat hastighed, er hun nødt til at bruge en vækstfaktor. For at beregne mulige forventede priser tager hun den aktuelle aktiekurs og multiplicerer den med forskellige afkasthastigheder (som er matematisk afledte eksponentielle faktorer baseret på sammensætning), som antages at være normalt fordelt. Når investoren kontinuerligt sammensætter afkastene, opretter hun en lognormal distribution. Denne fordeling er altid positiv, selvom nogle af afkastraterne er negative, hvilket vil ske 50% af tiden i en normal fordeling. Den fremtidige aktiekurs vil altid være positiv, fordi aktiekurserne ikke kan falde til under $ 0.

Hvornår skal man bruge normal versus lognormal distribution

Det foregående eksempel hjalp os med at nå frem til, hvad der virkelig betyder for investorer: hvornår vi skal bruge hver metode. Lognormal er yderst nyttigt, når man analyserer aktiekurser. Så længe det antages, at den anvendte vækstfaktor normalt distribueres (som vi antager med afkasthastigheden), giver den lognormale fordeling mening. Normal distribution kan ikke bruges til at modellere aktiekurser, fordi den har en negativ side, og aktiekurserne kan ikke falde under nul.

En anden lignende anvendelse af den lognormale distribution er ved prisfastsættelse af optioner. Black-Scholes-modellen - bruges til at præsentere optioner - bruger den lognormale distribution som basis til at bestemme optionskurser.

Omvendt fungerer normal distribution bedre, når man beregner det samlede porteføljeafkast. Den normale fordeling bruges, fordi det vejede gennemsnitlige afkast (produktet af vægten af ​​en sikkerhed i en portefølje og dets afkast) er mere nøjagtigt i beskrivelsen af ​​det faktiske porteføljeafkast (positivt eller negativt), især hvis vægtene varierer med en stor grad. Følgende er et typisk eksempel:

Portfolio Holdings Vægt Returnerer Vægtet Afkast

Lager A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Lager B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Samlet vægtet gennemsnitligt afkast = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Selvom det lognormale afkast for den samlede porteføljepræstation kan være hurtigere at beregne over en længere periode, er det ikke muligt at fange de individuelle lagervægte, hvilket kan forvrænge afkastet enormt. Portfolio-afkast kan også være positivt eller negativt, og en lognormal distribution vil ikke kunne fange de negative aspekter.

Bundlinjen

Selvom nuancerne, der adskiller normal og lognormal fordeling, måske slipper for os det meste af tiden, vil viden om udseendet og karakteristika for hver distribution give indsigt i, hvordan man modellerer porteføljeafkast og fremtidige aktiekurser.