Undersøgelse af det eksponentielt vægtede bevægende gennemsnit

Flygtighed er det mest almindelige mål for risiko, men det findes i flere varianter. I en tidligere artikel viste vi, hvordan man beregner enkel historisk volatilitet. I denne artikel forbedrer vi den enkle volatilitet og diskuterer det eksponentielt vægtede glidende gennemsnit (EWMA).

Historisk vs. implicit volatilitet

Lad os først sætte denne metrisk i et lidt perspektiv. Der er to brede tilgange: historisk og implicit (eller implicit) volatilitet. Den historiske tilgang antager, at fortid er prolog; vi måler historien i håb om, at den er forudsigelig. Impliceret flygtighed ignorerer på den anden side historien; det løser den volatilitet, der følger af markedspriserne. Det håber, at markedet ved bedst, og at markedsprisen indeholder, selv om det implicit, et konsensusestimat af volatilitet.

Hvis vi fokuserer på kun de tre historiske tilgange (til venstre ovenfor), har de to trin til fælles:

1. Beregn serien med periodiske afkast
2. Anvend en vægtningsplan

Først beregner vi det periodiske afkast. Det er typisk en række daglige afkast, hvor hvert afkast udtrykkes i kontinuerligt sammensatte vilkår. For hver dag tager vi den naturlige log over forholdet mellem aktiekurser (dvs. pris i dag divideret med pris i går osv.).

ui = lnsisi − 1 hvor: ui = retur på dagen isi = aktiekurs på dagen isi − 1 = aktiekurs dagen før dag i \ begynde {justeret} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & u_i = \ text {return on day} i \\ & s_i = \ text {stock price on day} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {stock price the day før dag} i \\ \ ende {justeret} ui = lnsi − 1 si hvor: ui = retur på dagen isi = aktiekurs på dagen isi − 1 = aktiekurs dagen før dag i

Dette producerer en række daglige afkast, fra u _i til u _im, afhængigt af hvor mange dage (m = dage) vi måler.

Det bringer os til det andet trin: Det er her de tre tilgange er forskellige. I den forrige artikel viste vi, at under et par acceptable forenklinger er den enkle varians gennemsnittet af de kvadratiske afkast:

variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 hvor: m = antal dage målt n = dayiu = forskellen i afkast fra det gennemsnitlige afkast \ begynde {justert} & \ tekst {varians} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & m = \ tekst {antal målt dage} \\ & n = \ tekst {dag} i \\ & u = \ tekst {forskel i afkast fra det gennemsnitlige afkast} \\ \ slutning {justeret} varians = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 hvor: m = antal dage målt n = dayiu = forskel afkast fra det gennemsnitlige afkast

Bemærk, at dette summerer hvert af de periodiske returneringer, og dividerer derefter det samlede antal med antallet af dage eller observationer (m). Så det er virkelig bare et gennemsnit af det firkantede periodiske afkast. Sagt på en anden måde, hver firkantede retur får en lige vægt. Så hvis alpha (a) er en vægtningsfaktor (specifikt a = 1 / m), ser en simpel varians således ud:

EWMA forbedres med Simple Variance
Svagheden ved denne tilgang er, at alle afkast tjener den samme vægt. Gårsdagens (meget nylige) afkast har ikke mere indflydelse på variansen end sidste måneds afkast. Dette problem løses ved at bruge det eksponentielt vægtede glidende gennemsnit (EWMA), hvor nyere afkast har større vægt på variansen.

Det eksponentielt vægtede bevægende gennemsnit (EWMA) introducerer lambda, der kaldes udjævningsparameteren. Lambda skal være mindre end én. Under denne betingelse vægtes hvert kvadratretur i stedet for lige vægte med en multiplikator som følger:

For eksempel har RiskMetrics ^TM _, et finansielt risikostyringsfirma, en tendens til at bruge en lambda på 0, 94 eller 94%. I dette tilfælde vægtes det første (seneste) firkantede periodiske afkast med (1-0, 94) (. 94) ⁰ = 6%. Den næste firkantede retur er simpelthen en lambda-multipel med den forudgående vægt; i dette tilfælde ganget 6% ganget med 94% = 5, 64%. Og den tredje foregående dags vægt svarer til (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

Det er betydningen af ​​"eksponentiel" i EWMA: hver vægt er en konstant multiplikator (dvs. lambda, som skal være mindre end en) af den foregående dags vægt. Dette sikrer en varians, der er vægtet eller partisk mod nyere data. Forskellen mellem simpelthen volatilitet og EWMA for Google vises nedenfor.

Enkel volatilitet vejer effektivt hvert periodisk afkast med 0, 196% som vist i kolonne O (vi havde to års daglige aktiekursdata. Det er 509 daglige afkast og 1/509 = 0, 196%). Men vær opmærksom på, at kolonne P tildeler en vægt på 6%, derefter 5, 64%, derefter 5, 3% og så videre. Det er den eneste forskel mellem enkel varians og EWMA.

Husk: når vi summerer hele serien (i kolonne Q) har vi variationen, som er kvadratet for standardafvigelsen. Hvis vi ønsker volatilitet, er vi nødt til at huske at tage kvadratroten af ​​denne variation.

Hvad er forskellen i den daglige volatilitet mellem variansen og EWMA i Googles tilfælde ">

Dagens variation er en funktion af den tidligere dags variation

Du vil bemærke, at vi var nødt til at beregne en lang række eksponentielt faldende vægte. Vi laver ikke matematik her, men en af ​​de bedste egenskaber ved EWMA er, at hele serien nemt reduceres til en rekursiv formel:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 hvor: λ = graden af ​​vægtningsfaldσ2 = værdi i tidsperioden nu2 = værdien af ​​EWMA i tidsperioden n \ begynde {justeret} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ lambda = \ text {vægtningsgraden falder} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ tekst {værdi i tidsperioden} n \\ & u ^ 2 = \ tekst {værdi af EWMA i tidsperiode} n \\ \ slutning {justeret} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 hvor: λ = vægtningsgraden falder 22 = værdi i tidsperioden nu2 = værdi af EWMA i tidsperioden n

Rekursiv betyder, at dagens variansreferencer (dvs. er en funktion af den foregående dags varians). Du kan også finde denne formel i regnearket, og den giver nøjagtigt samme resultat som beregningen af ​​longhand! Den siger: dagens varians (under EWMA) er lig med gårsdagens varians (vægtet af lambda) plus gårsdagens firkantede afkast (vejet med en minus lambda). Bemærk, hvordan vi bare tilføjer to udtryk sammen: gårsdagens vægtede varians og gårdagens vægtede, firkantede retur.

Alligevel er lambda vores udjævningsparameter. En højere lambda (f.eks. Som RiskMetric's 94%) indikerer et langsommere forfald i serien - relativt vil vi have flere datapunkter i serien, og de vil "falde" langsommere. På den anden side angiver vi højere forfald, hvis vi reducerer lambdaen: vægterne falder hurtigere, og som et direkte resultat af det hurtige henfald bruges færre datapunkter. (I regnearket er lambda et input, så du kan eksperimentere med dets følsomhed).

Resumé
Flygtighed er den øjeblikkelige standardafvigelse for en bestand og den mest almindelige risikometrik. Det er også den firkantede rod af varians. Vi kan måle varians historisk eller implicit (implicit volatilitet). Ved historisk måling er den nemmeste metode enkel varians. Men svagheden med enkel varians er, at alle afkast får den samme vægt. Så vi står over for en klassisk kompromis: vi vil altid have flere data, men jo flere data vi har, desto mere fortyndes vores beregning med fjerne (mindre relevante) data. Det eksponentielt vægtede glidende gennemsnit (EWMA) forbedrer den enkle varians ved at tildele vægte til det periodiske afkast. Ved at gøre dette kan vi begge bruge en stor prøvestørrelse, men også give større vægt på nyere afkast.