Forståelse af Binomial Option Pricing Model

At blive enige om nøjagtig prisfastsættelse for ethvert omsætteligt aktiv er udfordrende - det er grunden til, at aktiekurser konstant ændres. I virkeligheden ændrer virksomheder næppe deres værdier dagligt, men deres aktiekurser og værdiansættelser ændrer næsten hvert sekund. Denne vanskelighed med at nå en enighed om korrekt prisfastsættelse for ethvert omsætteligt aktiv fører til kortvarige arbitrage-muligheder.

Men en masse succesrige investeringer koger ned på et simpelt spørgsmål om nutidig værdiansættelse - hvad er den rigtige aktuelle pris i dag for en forventet fremtidig gevinst?

Binominal valgmuligheder

For at undgå arbitrage-muligheder skal aktiver med identiske udbetalingsstrukturer have den samme pris. Værdiansættelse af optioner har været en udfordrende opgave, og prisvariationer fører til arbitrage muligheder. Black-Scholes er stadig en af ​​de mest populære modeller, der bruges til prisindstillinger, men har begrænsninger.

Prismodellen for binomialoptioner er en anden populær metode, der bruges til prisfastsættelsesmuligheder.

eksempler

Antag, at der er en call option på en bestemt aktie med en nuværende markedspris på $ 100. Valgmulighederne (ATM) har en strejkepris på $ 100 med et års udløb. Der er to forhandlere, Peter og Paula, som begge er enige om, at aktiekursen enten vil stige til $ 110 eller falde til $ 90 på et år.

De er enige om forventede prisniveauer i en given tidsramme på et år, men er uenige om sandsynligheden for et op- eller nedadgående træk. Peter mener, at sandsynligheden for, at aktiens pris går til $ 110, er 60%, mens Paula mener, at den er 40%.

Hvem vil på baggrund heraf være villig til at betale mere pris for opkaldsmuligheden? Muligvis Peter, da han forventer en stor sandsynlighed for opadgående bevægelse.

Binominale indstillinger Beregninger

De to aktiver, som værdiansættelsen afhænger af, er call option og den underliggende aktie. Der er en aftale blandt deltagerne om, at den underliggende aktiekurs kan flytte fra de nuværende $ 100 til enten $ 110 eller $ 90 på et år, og at der ikke er andre prisbevægelser mulige.

I en arbitrage-fri verden, hvis du er nødt til at oprette en portefølje bestående af disse to aktiver, call option og underliggende aktie, således at uanset hvor den underliggende pris går - $ 110 eller $ 90 - forbliver nettoafkastet på porteføljen altid det samme . Antag, at du køber "d" -andele i underliggende og kort en opkaldsmulighed for at oprette denne portefølje.

Hvis prisen går til $ 110, vil dine aktier være $ 110 * d værd, og du mister $ 10 på den korte opkaldsudbetaling. Nettoværdien af ​​din portefølje vil være (110d - 10).

Hvis prisen falder til $ 90, er dine aktier værd $ 90 * d, og optionen udløber værdiløst. Nettoprisen på din portefølje vil være (90d).

Hvis du ønsker, at din porteføljes værdi forbliver den samme uanset hvor den underliggende aktiekurs går, skal din porteføljeværdi forblive den samme i begge tilfælde:

h (d) −m = l (d) hvor: h = Højeste potentiale underliggende pris = Antal underliggende aktierm = Penge tabt ved kortopkaldsudbetaling = Laveste potentiale underliggende pris \ begynde {justeret} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {hvor:} \\ & h = \ text {Højeste potentielle underliggende pris} \\ & d = \ text {Antal underliggende aktier} \\ & m = \ text {Penge tabt ved udbetaling af kort opkald} \\ & l = \ tekst {Laveste potentiale underliggende pris} \\ \ ende {justeret} h (d) −m = l (d) hvor: h = Højeste potentiale underliggende pris = Antal underliggende aktierm = Penge mistet ved kort opkald payoffl = Laveste potentielle underliggende pris

Så hvis du køber en halv andel, hvis man antager, at fraktionerede køb er mulige, vil du klare at oprette en portefølje, så dens værdi forbliver den samme i begge mulige tilstande inden for den givne tidsramme på et år.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begynde {justeret} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {linje} 110d − 10 = 90dd = 21

Denne porteføljeværdi angivet med (90d) eller (110d - 10) = 45 er et år nede på linjen. For at beregne dens nutidsværdi kan den diskonteres med den risikofri afkast (antages 5%).

Nuværende værdi = 90 d × e (−5% × 1 år) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ begynde {justeret} \ tekst {Nuværende værdi} & = 90 d \ gange e ^ {(-5 \% \ gange 1 \ tekst {År})} \\ & = 45 \ gange 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ slutning {justeret} Nuværende værdi = 90d × e (−5% × 1 år) = 45 × 0.9523 = 42.85

Da porteføljen på nuværende tidspunkt består af ½ andel af den underliggende aktie (med en markedspris på $ 100) og en kort opkald, skal den være lig med nutiden.

12 × 100−1 × Opkaldspris = $ 42, 85Inkaldspris = $ 7, 14, dvs. opkaldsprisen i dag \ begynde {justeret} & \ frac {1} {2} \ gange 100 - 1 \ gange \ tekst {Opkaldspris} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Opkaldspris} = \ $ 7.14 \ tekst {, dvs. dagens prisopkald} \\ \ ende {justeret} 21 × 100−1 × Opkaldspris = $ 42.85Inropspris = $ 7.14, dvs. dagens pris

Da dette er baseret på antagelsen om, at porteføljeværdien forbliver den samme, uanset hvilken vej den underliggende pris går, spiller sandsynligheden for et op- eller nedadgående ikke nogen rolle. Porteføljen forbliver risikofri uanset de underliggende prisbevægelser.

I begge tilfælde (antages at gå op til $ 110 og ned til $ 90) er din portefølje neutral til risikoen og tjener den risikofri afkastrate.

Derfor ville begge erhvervsdrivende, Peter og Paula, være villige til at betale de samme $ 7, 14 for denne opkaldsmulighed, på trods af deres forskellige opfattelse af sandsynligheden for stigning (60% og 40%). Deres individuelt opfattede sandsynligheder betyder ikke noget i værdiansættelse af optioner.

Antager man i stedet, at de individuelle sandsynligheder betyder noget, kan arbitrage-muligheder have præsenteret sig. I den virkelige verden findes sådanne arbitrage-muligheder med mindre prisforskelle og forsvinder på kort sigt.

Men hvor er den meget hypede volatilitet i alle disse beregninger, en vigtig og følsom faktor, der påvirker prisfastsættelse af optioner?

Volatiliteten er allerede inkluderet af arten af ​​problemets definition. Hvis man antager to (og kun to - deraf navnet “binomial”) tilstand af prisniveauer ($ 110 og $ 90), er volatilitet implicit i denne antagelse og inkluderet automatisk (10% i begge tilfælde i dette eksempel).

Black-Scholes

Men er denne tilgang korrekt og sammenhængende med de almindeligt anvendte Black-Scholes-priser? Valgberegnerresultater (høflighed af OIC) stemmer tæt sammen med den beregnede værdi:

Desværre er den virkelige verden ikke så enkel som "kun to stater." Aktien kan nå flere prisniveauer inden udløbet.

Er det muligt at inkludere alle disse flere niveauer i en binomisk prismodel, der kun er begrænset til to niveauer ">

Simpel matematik

Sådan genereres dette problem og løsning:

"X" er den aktuelle markedspris for en aktie, og "X * u" og "X * d" er de fremtidige priser for op og ned bevægelser "t" år senere. Faktoren "u" vil være større end en, da den indikerer en bevægelse opad, og "d" vil ligge mellem nul og en. For ovenstående eksempel er u = 1, 1 og d = 0, 9.

Kaldemulighedens udbetaling er "P _op " og "P _dn " for bevægelser op og ned på udløbstidspunktet.

Hvis du bygger en portefølje af "s" -aktier, der er købt i dag og kort en opkaldsmulighed, derefter "t":

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Værdi af portefølje i tilfælde af opadgående bevægelse \ begynde {justeret} & \ tekst {VUM} = s \ gange X \ gange u - P_ \ tekst {op} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {VUM} = \ tekst {Værdi af portefølje i tilfælde af opadgående bevægelse} \\ \ ende {justeret} VUM = s × X × u − Pup hvor: VUM = Værdien af ​​porteføljen i tilfælde af en stigning

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Værdi af portefølje i tilfælde af en nedadgående bevægelse \ begynde {justeret} & \ tekst {VDM} = s \ gange X \ gange d - P_ \ tekst {ned} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {VDM} = \ tekst {Værdi af portefølje i tilfælde af en nedadgående bevægelse} \\ \ ende {justeret} VDM = s × X × d − Pdown hvor: VDM = Værdien af ​​porteføljen i tilfælde af nedadgående bevægelse

For lignende værdiansættelse i begge tilfælde af prisflytning:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ gange X \ gange u - P_ \ tekst {up} = s \ gange X \ gange d - P_ \ text {down} s × X × u− pup = s × X xd-Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Antallet af aktier, der skal købes for = en risikofri portefølje \ begynde {justeret} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Antallet af aktier, der skal købes til} \\ & \ phantom {=} \ text {en risikofri portefølje} \\ \ end {alignet} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Antallet af aktier, der skal købes for = en risikofri portefølje

Den fremtidige værdi af porteføljen ved udgangen af ​​"t" år vil være:

I tilfælde af bevægelse = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begynde {justeret} \ tekst {I tilfælde af op flytte} & = s \ gange X \ gange u - P_ \ tekst {op} \\ & = \ frac {P_ \ tekst {op} - P_ \ tekst {ned}} {u - d} \ gange u - P_ \ tekst {op} \\ \ end {justeret} I tilfælde af Op Flyt = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

I tilfælde af nedadgående bevægelse = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ begynde {justeret} \ tekst {I tilfælde af Down Move} & = s \ gange X \ gange d - P_ \ tekst {ned} \\ & = \ frac {P_ \ tekst {op} - P_ \ tekst {ned}} {u - d} \ gange d - P_ \ tekst {ned} \\ \ end {justeret} I tilfælde af Ned bevægelse = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Den aktuelle værdi kan opnås ved at neddiskontere den med den risikofrie afkast:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] hvor: PV = nutidsvaluer = returfrekvens = tid, i år \ begynde {justeret} & \ tekst {PV} = e (-rt) \ gange \ venstre [\ frac {P_ \ tekst {op} - P_ \ tekst {ned}} {u - d} \ gange u - P_ \ tekst {op} \ højre] \\ & \ textbf { hvor:} \\ & \ text {PV} = \ text {nutidsværdi} \\ & r = \ text {return rate} \\ & t = \ text {Tid, i år} \\ \ slutning {line} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] hvor: PV = nutidsværdier = returfrekvens = tid, i år

Dette skal matche porteføljebeholdningen af ​​"s" -aktier til X-pris, og den korte opkaldsværdi "c" (nutidig beholdning af (s * X - c) skal svare til denne beregning.) Løsning for "c" giver det til sidst som:

Bemærk: Hvis opkaldspremien kortes, skal det være en tilføjelse til porteføljen, ikke en subtraktion.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ gange [(e (-rt) - d) \ gange P_ \ tekst {op} + (u - e (-rt)) \ gange P_ \ tekst {ned}] c = u − de (−rt) × [(e (Rt) -d) × Pup + (u-e (Rt)) × Pdown]

En anden måde at skrive ligningen er ved at omarrangere den:

Under "q" som:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Derefter bliver ligningen:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ gange (q \ gange P_ \ tekst {op} + (1 - q) \ gange P_ \ tekst {ned}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Omarrangering af ligningen i form af “q” har tilbudt et nyt perspektiv.

Nu kan du fortolke "q" som sandsynligheden for at bevæge sig opad under det (som "q" er forbundet med P _op og "1-q" er forbundet med P _dn ). Samlet set repræsenterer ligningen den nuværende optionskurs, den diskonterede værdi af dens udbetaling ved udløbet.

Dette "Q" er anderledes

Hvordan er denne sandsynlighed "q" forskellig fra sandsynligheden for et opadgående bevægelse eller et nedadgående bevægelse af det underliggende ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Værdi af aktiekurs på tidspunktet t \ begynde {justeret} & \ tekst {VSP} = q \ gange X \ gange u + (1 - q) \ gange X \ gange d \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {VSP} = \ tekst {Værdi af aktiekurs på tidspunkt} t \\ \ end {justeret} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Værdien af ​​aktiekursen på tidspunktet t

Ved at erstatte værdien af ​​"q" og omarrangere, kommer aktiekursen på tidspunktet "t" til:

Aktiekurs = e (rt) × X \ begynde {justeret} & \ tekst {Aktiekurs} = e (rt) \ gange X \\ \ slutning {justeret} Aktiekurs = e (rt) × X

I denne antagede verden af ​​to stater stiger aktiekursen simpelthen med den risikofri afkastkurs, nøjagtigt som et risikofri aktiv, og derfor forbliver den uafhængig af enhver risiko. Investorer er ligeglade med risiko i henhold til denne model, så dette udgør den risikomneutrale model.

Sandsynlighed “q” og “(1-q)” er kendt som risikoenutrale sandsynligheder, og værdiansættelsesmetoden er kendt som den risikon neutrale værdiansættelsesmodel.

Eksempelscenariet har et vigtigt krav - den fremtidige udbetalingsstruktur kræves med præcision (niveau $ 110 og $ 90). I det virkelige liv er sådan klarhed over trinbaserede prisniveauer ikke mulig; snarere bevæger sig prisen tilfældigt og kan afvikle sig på flere niveauer.

For at udvide eksemplet yderligere skal du antage, at prisniveauer i to trin er mulige. Vi kender de sidste udbetalinger til det andet trin, og vi er nødt til at værdsætte muligheden i dag (på det første trin):

Arbejde bagud kan den mellemliggende første trinsevaluering (ved t = 1) foretages ved hjælp af endelige udbetalinger i trin to (t = 2), derefter ved hjælp af disse beregnede første trinsvurderinger (t = 1), den aktuelle værdiansættelse (t = 0) kan nås med disse beregninger.

For at få optionoptagelse ved nummer to bruges udbetalinger ved fire og fem. For at få priser for nummer tre bruges udbetalinger ved fem og seks. Endelig bruges beregne udbetalinger ved to og tre til at få priser på nummer et.

Bemærk, at dette eksempel antager den samme faktor for op (og ned) bevægelser i begge trin - u og d anvendes på en sammensat måde.

Et arbejdseksempel

Antag, at en salgsoption med en strejkurs på $ 110 handles i øjeblikket til $ 100 og udløber om et år. Den årlige risikofri rente ligger på 5%. Prisen forventes at stige med 20% og falde med 15% hver sjette måned.

Her er u = 1, 2 og d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

under anvendelse af ovenstående afledte formel af

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

vi får q = 0, 35802832

værdien af ​​salgsoptionen i punkt 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) hvor: p = Pris for putindstillingen \ begynde {justeret} & p_2 = e (-rt) \ gange (p \ gange P_ \ tekst {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {hvor:} \\ & p = \ text {Pris for putindstillingen} \\ \ end {alignet} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) hvor: p = Pris for salgsindstillingen

Ved P _upup- tilstand vil det underliggende være = 100 * 1, 2 * 1, 2 = $ 144, hvilket fører til P _upup = nul

Ved P _updn- tilstand vil det underliggende være = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102, hvilket fører til P _updn = $ 8

Ved P _dndn- tilstand vil det underliggende være = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 $, hvilket fører til P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Tilsvarende p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ gange (q \ gange p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1-q) p3)

Og dermed værdien af ​​salgsoptionen, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29.

På lignende måde giver binomiale modeller dig mulighed for at bryde hele optionens varighed til yderligere forfinede flere trin og niveauer. Ved hjælp af computerprogrammer eller regneark kan du arbejde bagud et trin ad gangen for at få nutidsværdien af ​​den ønskede mulighed.

Et andet eksempel

Antag en europæisk putoption med ni måneder til udløb, en strejkurs på $ 12 og en nuværende underliggende pris til $ 10. Antag en risikofri sats på 5% for alle perioder. Antag hver tredje måned, at den underliggende pris kan bevæge sig 20% ​​op eller ned, hvilket giver os u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 og et tre-trins binomialt træ.

Rødt angiver underliggende priser, mens blåt angiver udbetalingen af ​​salgsoptioner.

Risikineutral sandsynlighed "q" beregner til 0.531446.

Ved anvendelse af ovennævnte værdi af "q" og udbetalingsværdier ved t = ni måneder beregnes de tilsvarende værdier ved t = seks måneder som:

Ved anvendelse af disse beregne værdier ved t = 6 er værdier ved t = 3 og derefter ved t = 0:

Det giver nutidens værdi af en salgsindstilling som $ 2, 18, temmelig tæt på, hvad du finder ud af at beregne ved hjælp af Black-Scholes-modellen ($ 2, 30).

Bundlinjen

Selvom brug af computerprogrammer kan gøre disse intensive beregninger nemme, er forudsigelsen af ​​fremtidige priser fortsat en væsentlig begrænsning af binomiale modeller til valg af optioner. Jo finere tidsintervaller, desto sværere bliver det at forudsige udbetalingerne i slutningen af ​​hver periode med præcision på højt niveau.

Fleksibiliteten til at indarbejde de ændringer, der forventes i forskellige perioder, er dog et plus, hvilket gør det velegnet til prisfastsættelse af amerikanske optioner, herunder værdiansættelser til tidlig udøvelse.

Værdierne beregnet ved hjælp af binomialmodellen stemmer tæt sammen med de beregnet fra andre almindeligt anvendte modeller som Black-Scholes, hvilket angiver brugen og nøjagtigheden af ​​binomiale modeller til prissætning af optioner. Binomial prismodeller kan udvikles i henhold til en erhvervsdrivendes præferencer og kan fungere som et alternativ til Black-Scholes.