Optimer din portefølje ved hjælp af normal distribution

Den normale fordeling er sandsynlighedsfordelingen, der plotter alle dens værdier på en symmetrisk måde med de fleste af resultaterne placeret omkring sandsynlighedens middelværdi.

Normal (klokkekurve) distribution

Datasæt (som højden på 100 mennesker, karakterer opnået af 45 elever i en klasse osv.) Har en tendens til at have mange værdier på det samme datapunkt eller inden for det samme interval. Denne fordeling af datapunkter kaldes normal- eller klokkekurvefordeling.

For eksempel i en gruppe på 100 individer kan 10 være under 5 fod høje, 65 kan stå mellem 5 og 5, 5 fod og 25 kan være over 5, 5 fod. Denne rækkeviddebundne distribution kan afbildes som følger:

Tilsvarende kan datapunkter, der er afbildet i grafer for ethvert givet datasæt, ligne forskellige former for distribution. Tre af de mest almindelige er venstrejusterede, højrejusterede og virvlende fordelinger:

Bemærk den røde trendlinje i hver af disse grafer. Dette indikerer nogenlunde tendensen til datadistribution. Den første, “VENSTRE justeret distribution”, angiver, at et flertal af datapunkter falder i det nedre interval. I den anden "RIGHT Allined Distribution" -grafik falder størstedelen af ​​datapunkter i den højere ende af intervallet, mens den sidste, "Jumbled Distribution" repræsenterer et blandet datasæt uden nogen klar tendens.

Der er mange tilfælde, hvor fordelingen af ​​datapunkter har en tendens til at være omkring en central værdi, og den graf viser en perfekt normal fordeling - lige så afbalanceret på begge sider, med det højeste antal datapunkter koncentreret i midten.

Her er et perfekt, normalt distribueret datasæt:

Den centrale værdi her er 50 (som har flest antal datapunkter), og distribution afsmalner ensartet mod ekstreme slutværdier på 0 og 100 (som har færrest antal datapunkter). Den normale fordeling er symmetrisk omkring den centrale værdi med halvdelen af ​​værdierne på hver side.

En masse eksempler fra det virkelige liv passer til klokkekurvefordelingen:

• Kast en fair mønt mange gange (sige 100 gange eller mere), og du får en afbalanceret normal fordeling af hoveder og haler.
• Rul et par fair terninger mange gange (sige 100 gange eller mere), og resultatet vil være en afbalanceret, normal fordeling centreret omkring tallet 7 og ensartet tilspidsende mod ekstreme slutværdier på 2 og 12.
• Individernes højde i en gruppe af betydelig størrelse og karakterer, der er opnået af mennesker i en klasse, følger begge normale fordelingsmønstre.
• I økonomi ændringer i logværdierne af valutakurser, prisindeks og aktiekurser antages normalt at blive distribueret.

Risiko og afkast

Enhver investering har to aspekter: risiko og afkast. Investorer ser efter den lavest mulige risiko for det højest mulige afkast. Den normale fordeling kvantificerer disse to aspekter ved gennemsnittet for afkast og standardafvigelse for risiko. (For mere, se "Gennemsnitlig variansanalyse.")

Middelværdi eller forventet værdi

En særlig gennemsnitlig ændring af en aktiekurs kunne være 1, 5% på daglig basis - hvilket betyder, at den i gennemsnit stiger med 1, 5%. Denne middelværdi eller forventede værdi, der angiver afkast, kan nås ved at beregne gennemsnittet på et stort nok datasæt, der indeholder historiske daglige prisændringer på dette lager. Jo højere gennemsnit, jo bedre.

Standardafvigelse

Standardafvigelse angiver det beløb, hvormed værdier i gennemsnit afviger fra gennemsnittet. Jo højere standardafvigelsen er, desto mere risikofyldt er investeringen, da det fører til mere usikkerhed.

Her er en grafisk gengivelse af det samme:

Derfor muliggør den grafiske repræsentation af normal distribution gennem dens gennemsnit og standardafvigelse repræsentation af både afkast og risiko inden for et klart defineret interval.

Det hjælper med at vide (og være sikker med sikkerhed), at hvis et datasæt følger det normale fordelingsmønster, vil dets gennemsnit give os mulighed for at vide, hvad der vender tilbage til at forvente, og dets standardafvigelse vil gøre det muligt for os at vide, at omkring 68% af værdierne vil være inden for 1 standardafvigelse, 95% inden for 2 standardafvigelser og 99% af værdierne falder inden for 3 standardafvigelser. Et datasæt, der har et gennemsnit på 1, 5 og standardafvigelse på 1, er meget mere risikabelt end et andet datasæt med et gennemsnit på 1, 5 og en standardafvigelse på 0, 1.

At kende disse værdier for hvert valgt aktiv (dvs. aktier, obligationer og fonde) gør en investor opmærksom på det forventede afkast og risici.

Det er let at anvende dette koncept og repræsentere risikoen og afkastet på en enkelt aktie, obligation eller fond. Men kan dette udvides til at omfatte en portefølje af flere aktiver ">

Enkeltpersoner starter handel med at købe en enkelt aktie eller obligation eller investere i en gensidig fond. Efterhånden har de en tendens til at øge deres beholdning og købe flere aktier, fonde eller andre aktiver, og dermed skabe en portefølje. I dette trinvise scenarie bygger enkeltpersoner deres porteføljer uden en strategi eller meget tænkt. Professionelle fondsforvaltere, forhandlere og markedsproducenter følger en systematisk metode til at opbygge deres portefølje ved hjælp af en matematisk tilgang kaldet modern portfolio theory (MPT), der bygger på begrebet ”normal distribution”.

Moderne porteføljeteori

Modern portfolio theory (MPT) tilbyder en systematisk matematisk tilgang, der sigter mod at maksimere en porteføljes forventede afkast for en given mængde porteføljerisiko ved at vælge andelene af forskellige aktiver. Alternativt tilbyder det også at minimere risikoen for et givet niveau af forventet afkast.

For at nå dette mål bør de aktiver, der skal inkluderes i porteføljen, ikke kun vælges baseret på deres egen individuelle fortjeneste, men i stedet for, hvordan hvert aktiv vil fungere i forhold til de øvrige aktiver i porteføljen.

Kort sagt definerer MPT, hvordan man bedst kan opnå diversificering af porteføljen for de bedst mulige resultater: maksimalt afkast for et acceptabelt niveau af risiko eller minimal risiko for et ønsket niveau for afkast.

Byggestenene

MPT var sådan et revolutionerende koncept, da det blev introduceret, at dets opfindere vandt en Noble Prize. Denne teori leverede med succes en matematisk formel til at guide diversificering i investering.

Diversificering er en risikostyringsteknik, der fjerner risikoen for "alle æg i en kurv" ved at investere i ikke-korrelerede bestande, sektorer eller aktivklasser. Ideelt set annullerer det positive resultat af et aktiv i porteføljen den negative udvikling af andre aktiver.

For at tage det gennemsnitlige afkast af den portefølje, der har n forskellige aktiver, beregnes den forholdsvægtede kombination af de bestanddele afkastets afkast.

På grund af arten af ​​statistiske beregninger og normal fordeling beregnes det samlede porteføljeafkast ( _Rp ) som:

Rp = ΣwiRiR_p = \ sum {w_iR_i} rp = Σwi Ri

Summen (∑), hvor w _i er den forholdsmæssige vægt på aktiv i i porteføljen, R er afkastet (middelværdien) af aktiv i.

Porteføljerisikoen (eller standardafvigelsen) er en funktion af sammenhængen mellem de inkluderede aktiver for alle aktivpar (med hensyn til hinanden i parret).

På grund af arten af ​​statistiske beregninger og normal fordeling beregnes den samlede porteføljerisiko (Std-dev) _p som:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ begynde {justeret} & \ venstre (Std-dev \ højre) _p = \ \ & sqrt \ venstre [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ venstre (std-dev \ højre) _i \ venstre (std-dev \ højre) _j \ venstre (cor-cof_ {ij} \ højre) \ højre] \\ \ end {alignet} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)]

Her er cor-cof korrelationskoefficienten mellem afkast af aktiver i og j, og sqrt er kvadratroden.

Dette tager sig af den relative præstation af hvert aktiv i forhold til det andet.

Selvom dette forekommer matematisk kompliceret, inkluderer det enkle koncept, der anvendes her, ikke kun standardafvigelser for individuelle aktiver, men også de beslægtede med hensyn til hinanden.

Et godt eksempel findes her fra University of Washington.

Et hurtigt eksempel på MPT

Lad os forestille os som et tankeeksperiment, at vi er en porteføljeforvalter, der har fået kapital og har til opgave, hvor meget kapital der skal allokeres til to disponible aktiver (A & B), så det forventede afkast maksimeres og risikoen sænkes.

Vi har også følgende værdier tilgængelige:

Ra = 0, 175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0.164

Start med en lige allokering af 50-50 til hvert aktiv A & B, beregner _Rp til 0, 155, og (Std-dev) _p kommer til 0, 1023. En simpel sammenligning fortæller os, at både denne afkast og risiko er midtvejs mellem de enkelte værdier for hvert aktiv.

Vores mål er imidlertid at forbedre porteføljens afkast ud over det gennemsnitlige af hver enkelt aktiv og reducere risikoen, så den er lavere end for de enkelte aktivers.

Lad os nu indtage en kapitalbevillingsposition på 1, 5 i aktiv A og en kapitalfordelingsposition på -0, 5 i aktiv B. (Negativ kapitalallokering betyder, at den beholdning og den modtagne kapital bruges til at købe overskuddet på det andet aktiv med positiv kapitalallokering.) med andre ord, vi mangler lager B til 0, 5 gange kapital og bruger disse penge til at købe aktie A til et beløb på 1, 5 gange kapital.)

Ved hjælp af disse værdier får vi _Rp som 0.1604 og (Std-dev) _p som 0.4005.

Tilsvarende kan vi fortsætte med at bruge forskellige allokeringsvægte til aktiv A & B og nå frem til forskellige sæt Rp og (Std-dev) p. I henhold til det ønskede afkast (Rp) kan man vælge det mest acceptable risikoniveau (std-dev) p. Alternativt kan man for det ønskede risikoniveau vælge det bedste tilgængelige porteføljeafkast. Uanset hvad, gennem denne matematiske model for porteføljeteori er det muligt at nå målet om at skabe en effektiv portefølje med den ønskede kombination af risiko og afkast.

Brug af automatiserede værktøjer gør det nemt og nemt at registrere de bedst mulige tildelte proportioner let uden behov for lange manuelle beregninger.

Den effektive grænse, CAPM (Capital Asset Pricing Model) og prisfastsættelse af aktiver ved hjælp af MPT udvikler sig også fra den samme normale distributionsmodel og er en udvidelse til MPT.

Udfordringer til MPT (og underliggende normal distribution)

Desværre er ingen matematisk model perfekt, og hver har utilstrækkeligheder og begrænsninger.

Den grundlæggende antagelse om, at aktiekursafkast følger den normale distribution, stilles spørgsmålstegn gang på gang. Der er tilstrækkeligt empirisk bevis på tilfælde, hvor værdier ikke klæber til den formodede normale fordeling. At basere komplekse modeller på sådanne antagelser kan føre til resultater med store afvigelser.

Når man går videre i MPT, er beregningerne og antagelserne om korrelationskoefficient og covarians, der forbliver faste (baseret på historiske data), ikke nødvendigvis gyldige for fremtidige forventede værdier. For eksempel viste obligations- og aktiemarkederne en perfekt korrelation på det britiske marked fra perioden 2001 til 2004, hvor afkastet fra begge aktiver faldt samtidig. I virkeligheden er det omvendte blevet observeret i lange historiske perioder forud for 2001.

Investoradfærd tages ikke med i denne matematiske model. Skatter og transaktionsomkostninger forsømmes, selvom fraktioneret kapitalallokering og muligheden for kortslutning af aktiver antages.

I virkeligheden kan ingen af ​​disse antagelser stemme, hvilket betyder, at realiseret økonomisk afkast kan afvige markant fra forventet overskud.

Bundlinjen

Matematiske modeller giver en god mekanisme til at kvantificere nogle variabler med enkelt, sporbare tal. Men på grund af antagelsens begrænsninger kan modeller muligvis mislykkes.

Den normale fordeling, som danner grundlaget for porteføljeteori, gælder muligvis ikke nødvendigvis på aktier og andre finansielle aktivprismønstre. Porteføljeteori har i sig selv masser af antagelser, som bør undersøges kritisk, inden der træffes vigtige økonomiske beslutninger.