Brug af almindelige metodefordelingsmetoder

Næsten uanset dit syn på markedernes forudsigelighed eller effektivitet er du sandsynligvis enig i, at garanteret afkast for de fleste aktiver er usikkert eller risikabelt. Hvis vi ignorerer matematikken, der ligger til grund for sandsynlighedsfordelinger, kan vi se, at de er billeder, der beskriver et bestemt syn på usikkerhed. Sandsynlighedsfordelingen er en statistisk beregning, der beskriver chancen for, at en given variabel falder mellem eller inden for et specifikt interval på et plottskema.

Usikkerhed refererer til tilfældighed. Det adskiller sig fra en mangel på forudsigelighed eller markedseffektivitet. En ny forskningsopfattelse mener, at de finansielle markeder både er usikre og forudsigelige. Markeder kan også være effektive, men også usikre.

I økonomi bruger vi sandsynlighedsfordelinger til at tegne billeder, der illustrerer vores syn på et aktivafkasts følsomhed, når vi tror, ​​at aktivafkastet kan betragtes som en tilfældig variabel. I denne artikel skal vi gennemgå et par af de mest populære sandsynlighedsfordelinger og vise dig, hvordan du beregner dem.

Distributioner kan kategoriseres som enten diskrete eller kontinuerlige, og hvorvidt det er en sandsynlighedsdensitetsfunktion (PDF) eller en kumulativ distribution.

Diskrete kontra kontinuerlige distributioner

Diskret refererer til en tilfældig variabel trukket ud fra et begrænset sæt mulige resultater. En seks-sidet terning har for eksempel seks adskilte resultater. En kontinuerlig fordeling refererer til en tilfældig variabel trukket fra et uendeligt sæt. Eksempler på kontinuerlige tilfældige variabler inkluderer hastighed, afstand og nogle aktivafkast. En diskret tilfældig variabel er typisk illustreret med prikker eller streger, mens en kontinuerlig variabel er illustreret med en solid linje. Figur 1 viser diskrete og kontinuerlige fordelinger for en normal fordeling med en gennemsnitlig (forventet værdi) på 50 og en standardafvigelse på 10:

figur 1

Fordelingen er et forsøg på at kortlægge usikkerhed. I dette tilfælde er et resultat på 50 det mest sandsynlige, men kun vil ske omkring 4% af tiden; et resultat på 40 er et standardafvigelse under gennemsnittet, og det vil forekomme i underkant af 2, 5% af tiden.

Sandsynlighedstæthed vs. kumulativ distribution

Den anden sondring er mellem sandsynlighedsdensitetsfunktionen (PDF) og den kumulative fordelingsfunktion. PDF-filen er sandsynligheden for, at vores tilfældige variabel når en bestemt værdi (eller i tilfælde af en kontinuerlig variabel for at falde mellem et interval). Vi viser, at ved at indikere sandsynligheden for, at en tilfældig variabel X vil svare til en faktisk værdi x:

P [x = X] \ begynde {justeret} & P [x = X] \\ \ end {justeret} P [x = X]

Den kumulative fordeling er sandsynligheden for, at tilfældig variabel X vil være mindre end eller lig med den faktiske værdi x:

P [x <= X] \ begynde {justeret} & P [x <= X] \\ \ end {justeret} P [x <= X]

eller for eksempel, hvis din højde er en tilfældig variabel med en forventet værdi på 5'10 "inches (dine forældres gennemsnitlige højde), så er PDF-spørgsmålet, " Hvad er sandsynligheden for, at du når en højde på 5'4 "" >

Figur 1 viste to normale fordelinger. Du kan nu se, at disse er sandsynlighedsdensitetsfunktions (PDF) plot. Hvis vi plotter den nøjagtige samme distribution som en kumulativ distribution, får vi følgende:

Figur 2

Den kumulative fordeling skal til sidst nå 1, 0 eller 100% på y-aksen. Hvis vi hæver søjlen højt nok, falder praktisk talt alle resultater på et tidspunkt under denne søjle (vi kunne sige, at fordelingen typisk er asymptotisk til 1, 0).

Finansiering, en samfundsvidenskab, er ikke så ren som fysiske videnskaber. Tyngdekraften har for eksempel en elegant formel, som vi kan stole på igen og igen. På den anden side kan finansielle afkast ikke replikeres så konsekvent. En svimlende mængde penge er gået tabt i årenes løb af kloge mennesker, der forvirrede de nøjagtige fordelinger (dvs. som afledt af fysiske videnskaber) med de rodede, upålidelige tilnærmelser, der prøver at skildre økonomisk afkast. I finansiering er sandsynlighedsfordelinger lidt mere end rå billedlige repræsentationer.

Ensartet distribution

Den enkleste og mest populære distribution er den ensartede distribution, hvor alle resultater har en lige chance for at forekomme. En seks-sidet matrice har en ensartet fordeling. Hvert resultat har en sandsynlighed på ca. 16, 67% (1/6). Vores plot nedenfor viser den solide linje (så du kan se det bedre), men husk, at dette er en diskret distribution - du kan ikke rulle 2.5 eller 2.11:

Figur 3

Rul nu to terninger sammen, som vist i figur 4, og fordelingen er ikke længere ens. Det topper på syv, hvilket tilfældigvis har en 16, 67% chance. I dette tilfælde er alle de andre resultater mindre sandsynlige:

Figur 4

Rul nu tre terninger sammen, som vist i figur 5. Vi begynder at se virkningerne af et mest forbløffende sætning: den centrale grænse-sætning. Den centrale grænse-sætning lover med frimodighed, at summen eller gennemsnittet af en række uafhængige variabler vil have en tendens til at blive normalt fordelt, uanset deres egen distribution . Vores terninger er individuelt ensartede, men kombinerer dem, og - når vi tilføjer flere terninger - næsten magisk vil deres sum have tendens til den velkendte normale fordeling.

Figur 5

Binomial distribution

Binomialfordelingen afspejler en række "enten / eller" forsøg, såsom en række møntkast. Disse kaldes Bernoulli-forsøg - som henviser til begivenheder, der kun har to resultater - men du behøver ikke engang odds (50/50). Binomialfordelingen nedenfor viser en række 10 møntkast, hvor sandsynligheden for hoveder er 50% (p-0.5). Du kan se i figur 6, at chancen for at vende nøjagtigt fem hoveder og fem haler (rækkefølge betyder ikke noget) bare er genert for 25%:

Figur 6

Hvis binomialfordelingen ser normal ud for dig, har du ret i det. Når antallet af forsøg øges, tenderer binomialet mod den normale fordeling.

Lognormal distribution

Den lognormale distribution er meget vigtig inden for finansiering, fordi mange af de mest populære modeller antager, at aktiekurserne fordeles lognormalt. Det er let at forveksle aktivafkast med prisniveauer.

Afkast af aktiver behandles ofte som normalt - en aktie kan gå op 10% eller ned 10%. Prisniveauer behandles ofte som lognormale - en aktie på $ 10 kan gå op til $ 30, men den kan ikke gå ned til - $ 10. Den lognormale fordeling er ikke-nul og skævet til højre (igen, en bestand kan ikke falde under nul, men den har ingen teoretisk opadgående grænse):

Figur 7

Poisson

Poisson-fordelingen bruges til at beskrive oddsene for en bestemt begivenhed (f.eks. Et dagligt porteføljetab under 5%), der forekommer over et tidsinterval. Så i eksemplet nedenfor antager vi, at nogle operationelle processer har en fejlprocent på 3%. Vi antager endvidere 100 tilfældige forsøg; Poisson-fordelingen beskriver sandsynligheden for at få et vist antal fejl over et vist tidsrum, f.eks. en enkelt dag.

Figur 8

Studerendes T

Den studerendes T-distribution er også meget populær, fordi den har en lidt "fedtere hale" end den normale distribution. Den studerendes T bruges typisk, når vores prøvestørrelse er lille (dvs. mindre end 30). I finansiering repræsenterer venstre hale tabene. Derfor, hvis prøvestørrelsen er lille, tør vi undervurdere oddsen for et stort tab. Den federe hale på den studerendes T vil hjælpe os herude. Alligevel sker det, at distributionens fedthale ofte ikke er fedt nok. Økonomisk afkast har tendens til at udvise sjældne katastrofale lejligheder rigtigt fedt-haletab (dvs. fedtere end forudsat af distributionerne). Store beløb er gået tabt for at gøre dette.

Figur 9

Betadistribution

Endelig er beta-distributionen (ikke at forveksle med beta-parameteren i kapitalaktionsprismodellen) populær blandt modeller, der estimerer gendannelsesgraden på obligationsporteføljer. Betadistributionen er fordelingsafspilleren for distributioner. Ligesom det normale har det kun brug for to parametre (alfa og beta), men de kan kombineres for en bemærkelsesværdig fleksibilitet. Fire mulige beta-fordelinger er illustreret i figur 10 nedenfor:

Figur 10

Bundlinjen

Som så mange sko i vores statistiske skoskab, prøver vi at vælge den bedste pasform til lejligheden, men vi ved ikke rigtig, hvad vejret holder for os. Vi kan vælge en normal fordeling og derefter finde ud af, at det er undervurderet tab af venstre hale; så vi skifter til en skæv fordeling, kun for at finde ud af, at dataene ser mere "normale" ud i den næste periode. Den elegante matematik nedenunder kan forføre dig til at tro, at disse fordelinger afslører en dybere sandhed, men det er mere sandsynligt, at det kun er menneskelige artefakter. For eksempel er alle distributionerne, vi har gennemgået, ganske glatte, men nogle aktivafkast springer diskontinuerligt.

Den normale fordeling er allestedsnærværende og elegant, og den kræver kun to parametre (middelværdi og distribution). Mange andre fordelinger konvergerer mod det normale (f.eks. Binomial og Poisson). Imidlertid fortjener mange situationer, såsom hedgefondsafkast, kreditporteføljer og alvorlige tabshændelser ikke den normale fordeling.