Bayes 'sætningsdefinition
Bayes 'teorem, opkaldt efter det britiske matematiker fra det 18. århundrede Thomas Bayes, er en matematisk formel til bestemmelse af betinget sandsynlighed. Teoremet giver en måde at revidere eksisterende forudsigelser eller teorier (opdatere sandsynligheder) givet nye eller yderligere beviser. I finans kan Bayes teorem bruges til at vurdere risikoen for at låne penge til potentielle låntagere.
Bayes 'teorem kaldes også Bayes' regel eller Bayes 'lov og er grundlaget for området Bayesianske statistikker.
Key takeaways
- Bayes 'sætning giver dig mulighed for at opdatere forudsagte sandsynligheder for en begivenhed ved at inkorporere nye oplysninger.
- Bayes 'sætning blev opkaldt efter matematikeren Thomas Bayes fra det 18. århundrede.
- Det er ofte ansat i finansiering i opdatering af risikovurdering.
Formlen for Bayes 'sætning er
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) hvor: P (A) = Sandsynligheden for at A forekommerP (B) = Sandsynligheden for, at B forekommerP (A∣B) = Sandsynligheden for, at A gives BP (B∣A) = Sandsynligheden for, at B er givet AP (A⋂B)) = Sandsynligheden for, at både A og B forekommer \ begynde {justeret} & P \ venstre (A | B \ højre) = \ frac {P \ venstre (A \ bigcap {B} \ højre)} {P \ venstre (B \ højre)} = \ frac {P \ venstre (A \ højre) \ cdotP \ venstre (B} {P \ venstre (B \ højre)} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & P \ venstre (A \ højre) = \ tekst {Sandsynligheden for, at A opstår} \\ & P \ venstre (B \ højre) = \ tekst {Sandsynligheden for, at B forekommer} \\ & P \ venstre (A | B \ højre) = \ tekst {Sandsynligheden for en given B} \\ & P \ venstre (B | A \ højre) = \ text {Sandsynligheden for, at B er givet A} \\ & P \ venstre (A \ bigcap {B} \ højre)) = \ tekst {Sandsynligheden for, at både A og B forekommer} \\ \ end {justeret} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) hvor: P (A) = Sandsynligheden for at A forekommerP (B) = The sandsynlighed for, at B forekommerP (A∣B) = Sandsynligheden for, at A gives BP (B∣A) = Sandsynligheden for, at B gives AP (A⋂B)) = Sandsynligheden for, at både A og B forekommer
Bayes 'sætning forklaret
Anvendelser af sætningen er udbredt og ikke begrænset til det økonomiske område. Som et eksempel kan Bayes 'teorem bruges til at bestemme nøjagtigheden af de medicinske testresultater ved at tage højde for, hvor sandsynligt en given person er for at have en sygdom og testens generelle nøjagtighed. Bayes 'sætning er afhængig af at inkorporere forudgående sandsynlighedsfordelinger for at generere posterior sandsynligheder. Forudgående sandsynlighed, i Bayesianske statistiske inferencer, er sandsynligheden for en begivenhed, før nye data indsamles. Dette er den bedste rationelle vurdering af sandsynligheden for et resultat baseret på den aktuelle viden, før et eksperiment udføres. Posterior sandsynlighed er den reviderede sandsynlighed for, at en begivenhed opstår efter at have taget hensyn til ny information. Posterior sandsynlighed beregnes ved at opdatere den forudgående sandsynlighed ved hjælp af Bayes 'sætning. I statistiske termer er den bagerste sandsynlighed sandsynligheden for, at hændelse A forekommer i betragtning af, at hændelse B er forekommet.
Bayes 'sætning giver således sandsynligheden for en begivenhed baseret på nye oplysninger, der er eller kan være relateret til den begivenhed. Formlen kan også bruges til at se, hvordan sandsynligheden for, at en hændelse finder sted, påvirkes af hypotetisk ny information, idet vi antager, at den nye information viser sig at være sand. For eksempel, siger, at et enkelt kort er trukket fra et komplet dæk på 52 kort. Sandsynligheden for, at kortet er en konge, er 4 divideret med 52, hvilket er lig med 1/13 eller cirka 7, 69%. Husk, at der er 4 konger i bunken. Antag, at det afsløres, at det valgte kort er et ansigtskort. Sandsynligheden for, at det valgte kort er en konge, da det er et ansigtskort, er 4 divideret med 12 eller ca. 33, 3%, da der er 12 ansigtskort i et dæk.
Aflede Bayes 'sætningsformel med et eksempel
Bayes 'sætning følger simpelthen af aksiomerne for betinget sandsynlighed. Betinget sandsynlighed er sandsynligheden for en begivenhed i betragtning af at en anden begivenhed opstod. For eksempel kan et simpelt sandsynlighedsspørgsmål stille sig: "Hvad er sandsynligheden for, at Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN), børskursen falder?" Betinget sandsynlighed tager dette spørgsmål et skridt videre ved at spørge: "Hvad er sandsynligheden for, at AMZN-aktiekursen falder, da Dow Jones Industrial Average (DJIA) -indekset faldt tidligere?"
Den betingede sandsynlighed for A, når B er sket, kan udtrykkes som:
Hvis A er: "AMZN-pris falder", er P (AMZN) sandsynligheden for, at AMZN falder; og B er: "DJIA er allerede nede, " og P (DJIA) er sandsynligheden for, at DJIA faldt; derefter læser det betingede sandsynlighedsudtryk som "sandsynligheden for, at AMZN falder givet et DJIA-fald, er lig med sandsynligheden for, at AMZN-prisen falder, og DJIA falder over sandsynligheden for et fald i DJIA-indekset.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN og DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN og DJIA) er sandsynligheden for, at både A og B forekommer. Dette er også det samme som sandsynligheden for, at A forekommer ganget med sandsynligheden for, at B forekommer, når A forekommer, udtrykt som P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). At disse to udtryk er ens, fører til Bayes teorem, som er skrevet som:
hvis, P (AMZN og DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
derefter, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Hvor P (AMZN) og P (DJIA) er sandsynligheden for, at Amazon og Dow Jones falder, uden hensyn til hinanden.
Formlen forklarer forholdet mellem sandsynligheden for hypotesen, før man ser beviset for, at P (AMZN), og sandsynligheden for hypotesen efter at have fået beviset P (AMZN | DJIA), givet en hypotese for Amazon givet bevis i Dow.
Numerisk eksempel på Bayes 'sætning
Som et numerisk eksempel, forestil dig, at der er en lægemiddeltest, der er 98% nøjagtig, hvilket betyder 98% af tiden, at det viser et rigtigt positivt resultat for en person, der bruger stoffet, og 98% af tiden, det viser et sandt negativt resultat for ikke-brugere af narkotika. Antag derefter, at 0, 5% af mennesker bruger stoffet. Hvis en person, der er valgt ved tilfældige tests, er positiv for lægemidlet, kan følgende beregning foretages for at se, om sandsynligheden for, at personen faktisk er en bruger af stoffet.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayes 'teorem viser, at selv hvis en person testede positivt i dette scenarie, er det faktisk meget mere sandsynligt, at personen ikke er en bruger af stoffet.
Sammenlign Navn på udbydere af investeringskonti Beskrivelse Annoncørens viden × De tilbud, der vises i denne tabel, er fra partnerskaber, hvorfra Investopedia modtager kompensation.