Sådan bruges Monte Carlo-simulering med GBM

En af de mest almindelige måder til at estimere risiko er brugen af ​​en Monte Carlo-simulering (MCS). For at beregne værdien ved risiko (VaR) for en portefølje kan vi for eksempel køre en Monte Carlo-simulering, der forsøger at forudsige det værst sandsynlige tab for en portefølje, der får et konfidensinterval over en specificeret tidshorisont (vi skal altid specificere to betingelser for VaR: tillid og horisont).

I denne artikel gennemgår vi en grundlæggende MCS, der anvendes til en aktiekurs ved hjælp af en af ​​de mest almindelige modeller inden for finansiering: geometrisk Brownian motion (GBM). Derfor, mens Monte Carlo-simulering kan henvise til et univers med forskellige tilgange til simulering, vil vi starte her med det mest basale.

Hvor skal man starte

En Monte Carlo-simulering er et forsøg på at forudsige fremtiden mange gange. I slutningen af ​​simuleringen producerer tusinder eller millioner af "tilfældige forsøg" en fordeling af resultater, der kan analyseres. De grundlæggende trin er som følger:

1. Angiv en model (f.eks. GBM)

Til denne artikel bruger vi den geometriske browniske bevægelse (GBM), som teknisk set er en Markov-proces. Dette betyder, at aktiekursen følger en tilfældig gåtur og er i overensstemmelse med (i det mindste) den svage form af den effektive markedshypotese (EMH) - tidligere prisoplysninger er allerede inkorporeret, og den næste kursbevægelse er "betinget uafhængig" af tidligere prisbevægelser.

Formlen for GBM findes nedenfor:

Hvor:

• S = Aktiekursen
• Δ S = Ændringen i aktiekurs
• μ = Det forventede afkast
• σ = Standardafvigelsen for returneringer
• ϵ = Den tilfældige variabel
• Δ t = Den forløbne periode

Hvis vi omorganiserer formlen til at løse bare for ændringen i aktiekurs, ser vi, at GBM siger, at ændringen i aktiekursen er aktiekursen "S" ganget med de to udtryk, der findes inden i parentesen nedenfor:

Det første udtryk er et "drift", og det andet udtryk er et "chok." For hver tidsperiode antager vores model, at prisen "vil" stige op med det forventede afkast. Men driften vil blive chokeret (tilføjet eller subtraheret) af et tilfældigt chok. Det tilfældige chok vil være standardafvigelsen "s" ganget med et tilfældigt tal "e." Dette er simpelthen en måde at skalere standardafvigelsen på.

Det er essensen af ​​GBM, som illustreret i figur 1. Aktiekursen følger en række trin, hvor hvert trin er et drift plus eller minus et tilfældigt chok (i sig selv en funktion af aktiens standardafvigelse):

figur 1

2. Generer tilfældige forsøg

Bevæbnet med en model specifikation, fortsætter vi derefter med at køre tilfældige forsøg. For at illustrere har vi brugt Microsoft Excel til at køre 40 forsøg. Husk, at dette er en urealistisk lille prøve; de fleste simuleringer eller "sims" kører mindst flere tusinde forsøg.

Lad os i dette tilfælde antage, at bestanden begynder på dag nul med en pris på $ 10. Her er et diagram over resultatet, hvor hvert tidstrin (eller interval) er en dag, og serien løber i ti dage (i resumé: fyrre forsøg med daglige trin over ti dage):

Figur 2: Geometrisk brownisk bevægelse

Resultatet er fyrre simulerede aktiekurser ved udgangen af ​​10 dage. Ingen er tilfældet med under $ 9, og en er over $ 11.

3. Behandl output

Simuleringen producerede en fordeling af hypotetiske fremtidige resultater. Vi kunne gøre flere ting med output.

Hvis vi for eksempel ønsker at estimere VaR med 95% tillid, er vi kun nødt til at lokalisere det trediveogtyvende placering (det tredje værste resultat). Det skyldes, at 2/40 svarer til 5%, så de to værste resultater er i de laveste 5%.

Hvis vi stabler de illustrerede resultater i skraldespande (hver skraldespand er en tredjedel af $ 1, så tre skraldespand dækker intervallet fra $ 9 til $ 10), får vi følgende histogram:

Figur 3

Husk, at vores GBM-model antager normalitet; prisafkast distribueres normalt med forventet afkast (gennemsnit) "m" og standardafvigelse "s." Interessant nok ser vores histogram ikke normalt ud. Faktisk med flere forsøg vil det ikke have tendens til normalitet. I stedet vil den have en tendens til en lognormal fordeling: et skarpt fald til venstre for middelværdien og en meget skæv "lang hale" til højre for middelværdien.

Dette fører ofte til en potentielt forvirrende dynamik for første gang studerende:

• Prisangivelser fordeles normalt.
• Prisniveauer distribueres log-normalt.

Tænk på det på denne måde: En aktie kan vende tilbage eller ned 5% eller 10%, men efter en bestemt periode kan aktiekursen ikke være negativ. Endvidere har prisstigninger på forsiden en sammensat effekt, mens prisfald på nedsiden reducerer basen: tab 10%, og du står tilbage med mindre at tabe næste gang.

Her er et kort over den lognormale distribution, der er lagt på vores illustrerede antagelser (f.eks. Startpris på $ 10):

Figur 4

Bundlinjen

En Monte Carlo-simulering anvender en udvalgt model (som specificerer opførsel af et instrument) på et stort sæt tilfældige forsøg i et forsøg på at producere et plausibelt sæt mulige fremtidige resultater. Med hensyn til simulering af aktiekurser er den mest almindelige model geometrisk brownisk bevægelse (GBM). GBM antager, at en konstant drift ledsages af tilfældige stød. Mens periodeafkast under GBM normalt distribueres, fordeles den deraf følgende flerårsperiode (for eksempel ti dage) prisniveauer lognormalt.