Forskellen mellem aritmetisk gennemsnit og geometrisk gennemsnit

Der er mange måder at måle resultatet af den finansielle portefølje og bestemme, om en investeringsstrategi er vellykket. Investeringsfagfolk bruger ofte det geometriske gennemsnit , mere almindeligt kaldet det geometriske middelværdi, til at gøre dette.

Det geometriske middelværdi adskiller sig fra det aritmetiske gennemsnit eller det aritmetiske middelværdi, i hvordan det beregnes, fordi det tager højde for den sammensætning, der sker fra periode til periode. På grund af dette betragter investorer normalt det geometriske middelværdi som et mere nøjagtigt mål for afkastet end det aritmetiske middelværdi.

Formlen for det aritmetiske gennemsnit

A = 1n∑i = 1nai = a1 + a2 +… + annwhere: a1, a2, ..., an = Portfolio returnerer for periode nn = Antal perioder \ begynde {rettet} & A = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {Portfolio returneres for periode} n \\ & n = \ tekst {Antal perioder} \\ \ ende {justeret} A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + en hvor: a1, a2, ..., an = Portfolio returnerer for periode nn = Antal perioder

Aritmetisk gennemsnit

Sådan beregnes det aritmetiske gennemsnit

Et aritmetisk gennemsnit er summen af ​​en række numre divideret med antallet af den række af numre.

Hvis du blev bedt om at finde klassen (aritmetisk) gennemsnit af testresultater, ville du blot tilføje alle testresultater for eleverne og derefter dele det beløb med antallet af studerende. For eksempel, hvis fem studerende tog en eksamen, og deres score var 60%, 70%, 80%, 90% og 100%, ville det aritmetiske klassegennemsnit være 80%.

Dette beregnes som:

60% + 70% + 80% + 90% + 100% 5 = 80% \ begynde {justeret} & \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5 } = 80 \% \\ \ end {justeret} 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

Årsagen til at vi bruger et aritmetisk gennemsnit til testresultater er, at hver score er en uafhængig begivenhed. Hvis en studerende tilfældigvis presterer dårligt på eksamen, påvirkes den næste studerendes chancer for at gøre dårlige (eller godt) på eksamen ikke.

I finansverdenen er det aritmetiske gennemsnit normalt ikke en passende metode til beregning af et gennemsnit. Overvej for eksempel investeringsafkast. Antag, at du har investeret dine besparelser på de finansielle markeder i fem år. Hvis din portefølje afkast hvert år var 90%, 10%, 20%, 30% og -90%, hvad ville din gennemsnitlige afkast være i denne periode?

Med det aritmetiske gennemsnit ville det gennemsnitlige afkast være 12%, hvilket ved første øjekast synes at være imponerende - men det er ikke helt nøjagtigt. Det er fordi, når det kommer til årligt investeringsafkast, er antallet ikke uafhængigt af hinanden. Hvis du mister et betydeligt beløb i et bestemt år, har du så meget mindre kapital til at investere og generere afkast i de følgende år.

Vi bliver nødt til at beregne det geometriske gennemsnit af dit investeringsafkast for at nå frem til en nøjagtig måling af, hvad dit faktiske gennemsnitlige årlige afkast over den femårsperiode ville være.

Formlen for geometrisk gennemsnit

(∏i = 1nxi) 1n = x1x2… xnnwhere: x1, x2, ⋯ = Portfolio returnerer for hver periode n = Antal perioder \ begynde {justeret} & \ venstre (\ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ højre) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {x_1 x_2 \ dots x_n} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & x_1, x_2, \ dots = \ text {Portfolio returneres for hver periode } \\ & n = \ tekst {Antal perioder} \\ \ ende {justeret} (i = 1∏n xi) n1 = nx1 x2 ... xn hvor: x1, x2, ⋯ = Portfolio returnerer for hver perioden = Antal perioder

Sådan beregnes det geometriske gennemsnit

Det geometriske middelværdi for en række numre beregnes ved at tage produktet af disse tal og hæve det til det inverse af seriens længde.

For at gøre dette tilføjer vi et til hvert tal (for at undgå problemer med negative procenter). Derefter skal du multiplicere alle numrene sammen, og hæve deres produkt til styrken hos en divideret med antallet af numre i serien. Derefter trækker vi en fra resultatet.

Formlen, der er skrevet i decimaler, ser sådan ud:

[(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] 1n − 1 hvor: R = Returnn = Tælling af numrene i serien \ begynde {justeret} & [( 1 + \ tekst {R} _1) \ gange (1 + \ tekst {R} _2) \ gange (1 + \ tekst {R} _3) \ dotso \ gange (1 + \ tekst {R} _n)] ^ { \ frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {R} = \ text {Return} \\ & n = \ text {Antallet af numre i serien} \ \ \ ende {justeret} [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3) ... × (1 + Rn)] n1 −1 hvor: R = Returnn = Antal tal i serien

Formlen ser ud til at være ret intens, men på papiret er den ikke så kompleks. Vender vi tilbage til vores eksempel, lad os beregne det geometriske gennemsnit: Vores afkast var 90%, 10%, 20%, 30% og -90%, så vi tilslutter dem til formlen som:

(1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 15−1 \ begynde {justeret} & (1, 9 \ gange 1, 1 \ gange 1, 2 \ gange 1, 3 \ gange 0, 1) ^ {\ frac {1} {5}} -1 \ \ \ ende {justeret} (1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 51 −1

Resultatet giver et geometrisk gennemsnitligt årligt afkast på -20, 08%. Resultatet ved hjælp af det geometriske gennemsnit er meget værre end det aritmetiske gennemsnit på 12%, som vi beregnet tidligere, og desværre er det også det antal, der repræsenterer virkeligheden i dette tilfælde.

Key takeaways

• Det geometriske middelværdi er mest passende for serier, der udviser seriel korrelation. Dette gælder især for investeringsporteføljer.
• De fleste afkast i finansiering er korrelerede, inklusive afkast på obligationer, aktieafkast og markedsrisikopræmier. Jo længere tidshorisont, desto mere kritisk sammensætning bliver, og desto mere passende er brugen af ​​geometrisk middelværdi.
• For flygtige tal giver det geometriske gennemsnit en langt mere nøjagtig måling af det rigtige afkast ved at tage højde for sammensætning fra år til år.