Anvendelser og begrænsninger for flygtighed

Investorer kan lide at fokusere på løftet om højt afkast, men de bør også spørge, hvor stor risiko de skal påtage sig i bytte for disse afkast. Selvom vi ofte taler om risiko i en generel forstand, er der også formelle udtryk for forholdet mellem risiko og belønning. F.eks. Måler Sharpe-forholdet mereafkast pr. Risikoenhed, hvor risikoen beregnes som volatilitet, hvilket er et traditionelt og populært risikomål. Dets statistiske egenskaber er velkendte, og det strømmer ind i adskillige rammer, såsom moderne porteføljeteori og Black-Scholes-modellen. I denne artikel undersøger vi volatilitet for at forstå dens anvendelser og dens grænser.

Årlig standardafvigelse
I modsætning til underforstået volatilitet - som hører til optionsprisningsteori og er et fremadrettet estimat baseret på en markedskonsensus - ser regelmæssig volatilitet bagud. Specifikt er det den årlige standardafvigelse for historisk afkast.

Traditionelle risikorammer, der er afhængige af standardafvigelse, antager generelt, at afkast er i overensstemmelse med en normal klokkeformet fordeling. Normale fordelinger giver os praktiske retningslinjer: cirka to tredjedele af tiden (68, 3%) skal afkast falde inden for en standardafvigelse (+/-); og 95% af tiden skal afkast falde inden for to standardafvigelser. To egenskaber ved en normal fordelingsgraf er tynde "haler" og perfekt symmetri. Skinny haler indebærer en meget lav forekomst (ca. 0, 3% af tiden) af afkast, der er mere end tre standardafvigelser væk fra gennemsnittet. Symmetri indebærer, at hyppigheden og størrelsen af ​​gevinster på opadrettede sider er et spejlbillede af nedadgående tab.

SE: Volatilitetens indflydelse på markedsafkast

Følgelig behandler traditionelle modeller al usikkerhed som risiko, uanset retning. Som mange mennesker har vist, er det et problem, hvis afkast ikke er symmetriske - investorer bekymrer sig om deres tab "til venstre" i gennemsnittet, men de bekymrer sig ikke om gevinster til højre for gennemsnittet.

Vi illustrerer dette underfund nedenfor med to fiktive lagre. Den faldende bestand (blå linje) er fuldstændig uden spredning og producerer derfor en volatilitet på nul, men den stigende bestand - fordi den udviser flere opadgående chok men ikke et enkelt fald - producerer en volatilitet (standardafvigelse) på 10%.

Teoretiske egenskaber
Når vi for eksempel beregner volatiliteten for S&P 500-indekset pr. 31. januar 2004, kommer vi overalt fra 14, 7% til 21, 1%. Hvorfor et sådant interval ">

Bemærk, at volatiliteten stiger, når intervallet øges, men ikke næsten i forhold: Den ugentlige er ikke næsten fem gange det daglige beløb, og den månedlige er ikke næsten fire gange den ugentlige. Vi er nået frem til et centralt aspekt af tilfældig gangsteori: standardafvigelsesskalaer (stigninger) i forhold til kvadratroten af ​​tid. Derfor, hvis den daglige standardafvigelse er 1, 1%, og hvis der er 250 handelsdage i et år, er den årlige standardafvigelse den daglige standardafvigelse på 1, 1% ganget med kvadratroden på 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%) . Når vi ved dette, kan vi årliggøre intervallstandardafvigelserne for S&P 500 ved at multiplicere med kvadratroten af ​​antallet af intervaller i et år:

En anden teoretisk egenskab med volatilitet overrasker dig måske eller ikke: den eroderer afkast. Dette skyldes den centrale antagelse af den tilfældige gang-idé: at returneringer udtrykkes i procentdel. Forestil dig, at du starter med $ 100 og derefter vinder 10% for at få $ 110. Derefter mister du 10%, hvilket giver dig $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). Derefter får du 10% igen til nettet $ 108, 90 ($ 99 x 110% = $ 108, 9). Endelig mister du 10% til netto $ 98, 01. Det kan være mod-intuitivt, men din hovedstol eroderer langsomt, selvom din gennemsnitlige gevinst er 0%!

Hvis du for eksempel forventer en gennemsnitlig årlig gevinst på 10% pr. År (dvs. aritmetisk gennemsnit), viser det sig, at din forventede gevinst på lang sigt er noget mindre end 10% pr. År. Faktisk vil det blive reduceret med cirka halvdelen af ​​variansen (hvor variansen er standardafvigelsen i kvadratet). I det rene hypotetiske nedenfor starter vi med $ 100 og forestiller os derefter fem års volatilitet for at ende med $ 157:

Det gennemsnitlige årlige afkast over de fem år var 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), men

(CAGR eller geometrisk retur) er et mere nøjagtigt mål for

, og det var kun 9, 49%. Volatilitet eroderede resultatet, og forskellen er omkring halvdelen af ​​variationen på 1, 1%. Disse resultater er ikke fra et historisk eksempel, men i form af forventninger, givet en standardafvigelse på

(varians er kvadratet for standardafvigelse,

^ 2) og en forventet gennemsnitlig gevinst på

, er det forventede årlige afkast ca.

- (

^ 2 ÷ 2).

Are Returns Well Behaved "> Nasdaq nedenfor (ca. 2.500 daglige observationer):

Som du må forvente, er volatiliteten af ​​Nasdaq (årligt standardafvigelse på 28, 8%) større end volatiliteten af ​​S&P 500 (årligt standardafvigelse på 18, 1%). Vi kan observere to forskelle mellem normal distribution og faktisk afkast. For det første har de faktiske afkast højere toppe - hvilket betyder en større overvægt af afkast nær gennemsnittet. For det andet har faktiske afkast federe haler. (Vores fund er på linje med mere omfattende akademiske studier, der også har en tendens til at finde høje toppe og fedt haler; den tekniske udtryk for dette er kurtose). Lad os sige, at vi betragter minus tre standardafvigelser som et stort tab: S&P 500 oplevede et dagligt tab på minus tre standardafvigelser omkring -3, 4% af tiden. Den normale kurve forudsiger, at et sådant tab ville opstå cirka tre gange på 10 år, men det skete faktisk 14 gange!

Dette er fordelinger af separate intervalleafkast, men hvad siger teorien om afkast over tid "> gennemsnitligt årligt afkast (i løbet af de sidste 10 år) var ca. 10, 6%, og som omtalt var den årlige volatilitet 18, 1%. Her udfører vi en hypotetisk prøve ved at starte med $ 100 og holde den over 10 år, men vi udsætter investeringerne hvert år for et tilfældigt resultat, der i gennemsnit var 10, 6% med en standardafvigelse på 18, 1%. Denne prøve blev udført 500 gange, hvilket gjorde det til en såkaldt Monte Carlo De endelige prisresultater for 500 forsøg er vist nedenfor:

En normal fordeling vises som baggrund kun for at fremhæve de meget ikke-normale prisresultater. Teknisk set er de endelige prisresultater lognormale (hvilket betyder, at hvis x-aksen blev konverteret til naturlig log af x, ville fordelingen se mere normal ud). Pointen er, at adskillige prisresultater er over til højre: ud af 500 forsøg gav seks resultater et slutresultat på 700 dollar! Disse dyrebare få resultater formåede i gennemsnit at tjene over 20% hvert år over 10 år. På venstre side, fordi en faldende balance reducerer de kumulative virkninger af procentvise tab, fik vi kun en håndfuld slutresultater, der var mindre end $ 50. For at opsummere en vanskelig idé kan vi sige, at intervalleafkast - udtrykt i procentvise termer - normalt distribueres, men de endelige prisresultater er log-normalt fordelt.

SE: Multivariate modeller: Monte Carlo-analysen

Endelig er en anden konstatering af vores forsøg i overensstemmelse med "erosionseffekterne" af volatilitet: hvis din investering tjente nøjagtigt gennemsnittet hvert år, ville du have omkring $ 273 ved udgangen (10, 6% sammensat over 10 år). Men i dette eksperiment var vores samlede forventede gevinst nærmere $ 250. Med andre ord var den gennemsnitlige (aritmetiske) årlige gevinst 10, 6%, men den kumulative (geometriske) gevinst var mindre.

Det er kritisk at huske på, at vores simulering antager en tilfældig gåtur: den antager, at returnering fra en periode til den næste er helt uafhængig. Vi har ikke bevist det på nogen måde, og det er ikke en triviel antagelse. Hvis du mener, at afkast følger tendenser, siger du teknisk, at de viser positiv seriel korrelation. Hvis du tror, ​​de vender tilbage til gennemsnittet, siger du teknisk, at de viser negativ seriel korrelation. Ingen af ​​holdningerne er i overensstemmelse med uafhængighed.

Bundlinjen
Volatilitet er en årlig standardafvigelse for afkast. I de traditionelle teoretiske rammer måler det ikke kun risiko, men påvirker forventningen om langsigtet (flerperiodes) afkast. Som sådan beder den os om at acceptere de tvivlsomme antagelser om, at intervallangivelser normalt er fordelt og uafhængige. Hvis disse antagelser er rigtige, er høj volatilitet et dobbeltkantet sværd: det eroderer dit forventede langsigtede afkast (det reducerer det aritmetiske gennemsnit til det geometriske gennemsnit), men det giver dig også flere chancer for at opnå et par store gevinster.

SE: Implicit volatility: Køb lavt og sælg højt