At nedbryde den binomiale model for at værdsætte en mulighed

I den finansielle verden er Black-Scholes og de binomiale option-værdiansættelsesmodeller to af de vigtigste begreber i moderne finansiel teori. Begge bruges til at sætte pris på en option, og hver har sine egne fordele og ulemper.

Nogle af de grundlæggende fordele ved brug af binomialmodellen er:

• en visning med flere perioder
• gennemsigtighed
• evne til at indarbejde sandsynligheder

I denne artikel skal vi udforske fordelene ved at bruge den binomiale model i stedet for Black-Scholes-modellen og give nogle grundlæggende trin for at udvikle modellen og forklare, hvordan den bruges.

Visning i flere perioder

Binomialmodellen giver et overblik over den underliggende aktivpris og prisen på optionen i flere perioder. I modsætning til Black-Scholes-modellen, der giver et numerisk resultat baseret på input, tillader den binomiale model beregningen af ​​aktivet og muligheden for flere perioder sammen med området for mulige resultater for hver periode (se nedenfor).

Fordelen ved denne flerperiodesyn er, at brugeren kan visualisere ændringen i aktivprisen fra periode til periode og evaluere indstillingen baseret på beslutninger, der træffes på forskellige tidspunkter. For en USA-baseret option, der kan udøves når som helst inden udløbsdatoen, kan den binomiale model give indsigt i, hvornår udnyttelsen af ​​optionen kan være tilrådelig, og hvornår den skal holdes i længere perioder. Ved at se på det binomiale værdetræ kan en erhvervsdrivende på forhånd bestemme, hvornår en beslutning om en øvelse kan forekomme. Hvis optionen har en positiv værdi, er der mulighed for at udøve, mens hvis optionen har en værdi mindre end nul, skal den holdes i længere perioder.

Gennemsigtighed

Tæt relateret til flerperiodsgennemgangen er binomialmodelens evne til at give gennemsigtighed i aktivets underliggende værdi og muligheden, når tiden skrider frem. Black-Scholes-modellen har fem input:

1. Den risikofri rente
2. Udøvelsesprisen
3. Aktivets aktuelle pris
4. Tid til modenhed
5. Den implicitte volatilitet i aktivprisen

Når disse datapunkter indtastes i en Black-Scholes-model, beregner modellen en værdi for optionen, men virkningerne af disse faktorer afsløres ikke fra periode til periode. Med den binomiale model kan en erhvervsdrivende se ændringen i den underliggende aktivpris fra periode til periode og den tilsvarende ændring i optionskursen.

Inkorporering af sandsynligheder

Den grundlæggende metode til beregning af binomialoptionsmodellen er at bruge den samme sandsynlighed hver periode for succes og fiasko, indtil optionen udløber. Imidlertid kan en erhvervsdrivende inkorporere forskellige sandsynligheder for hver periode baseret på ny information opnået, når tiden går.

For eksempel kan der være en 50/50 chance for, at den underliggende aktivpris kan stige eller falde med 30 procent i en periode. I den anden periode kan sandsynligheden for, at den underliggende aktivpris stiger, dog vokse til 70/30. For eksempel, hvis en investor vurderer en oliebrønd, er den investor ikke sikker på, hvad værdien af ​​denne oliebrønd er, men der er en chance for 50/50 for, at prisen vil stige. Hvis oliepriserne stiger i periode 1, hvilket gør olien godt værdifuld, og markedsfundamentet nu peger på fortsatte stigninger i oliepriserne, kan sandsynligheden for yderligere prisstigning nu være 70 procent. Binomialmodellen muliggør denne fleksibilitet; Black-Scholes-modellen gør det ikke.

Udvikling af modellen

Den enkleste binomiale model har to forventede afkast, hvis sandsynligheder udgør op til 100 procent. I vores eksempel er der to mulige resultater for oliebrønden på hvert tidspunkt. En mere kompleks version kan have tre eller flere forskellige resultater, som hver får en sandsynlighed for forekomst.

For at beregne afkast pr. Periode, der starter fra tidspunktet nul (nu), skal vi foretage en bestemmelse af værdien af ​​det underliggende aktiv en periode fra nu. I dette eksempel antager vi følgende:

• Pris på det underliggende aktiv (P): $ 500
• Købsoptionsudnyttelsespris (K): $ 600
• Risikofri rente for perioden: 1 procent
• Prisændring hver periode: 30 procent op eller ned

Prisen på det underliggende aktiv er $ 500, og i periode 1 kan det enten være $ 650 eller $ 350 værd. Det svarer til en stigning eller fald på 30 procent i en periode. Da udnyttelseskursen for de opkaldsoptioner, vi har, er $ 600, hvis det underliggende aktiv ender med at være mindre end $ 600, ville værdien af ​​opkaldsoptionen være nul. På den anden side, hvis det underliggende aktiv overstiger udnyttelseskursen på $ 600, ville værdien af ​​call option være forskellen mellem prisen på det underliggende aktiv og udnyttelseskursen. Formlen til denne beregning er [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] hvor: P = Pris på det underliggende aktivK = Opkaldspris for opkaldsmulighed \ begynde {justeret} & \ max {\ venstre [\ venstre (PK \ højre), 0 \ højre]} \ \ \\ & \ textbf {hvor:} \\ & P = \ tekst {Pris på det underliggende aktiv} \\ & K = \ tekst {Opkaldspris for udøvelse af opkald}} \\ \ afslut {justeret} maks. [(P − K), 0] hvor: P = Pris på det underliggende aktivK = Udnyttelseskurs for call option

Antag, at der er en 50 procent chance for at gå op og en 50 procent chance for at gå ned. Ved anvendelse af periode 1-værdier som et eksempel beregnes dette som

max [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0.5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25 \ begynde {justeret} & \ max {\ venstre [\ venstre (\ $ 650 - \ $ 600 \ højre), 0 \ højre]} * 0.5+ \ max {\ venstre [\ venstre (\ $ 350 - \ $ 600 \ højre), 0 \ højre]} * 0.5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ ende {justeret} max [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25

For at få den aktuelle værdi af opkaldsmuligheden er vi nødt til at diskontere $ 25 i periode 1 tilbage til periode 0, hvilket er

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75 \ $ 25 / \ venstre (1 + 1 \% \ højre) = \ $ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75

Du kan nu se, at hvis sandsynlighederne ændres, ændres den forventede værdi af det underliggende aktiv også. Hvis sandsynligheden skulle ændres, kan den også ændres for hver efterfølgende periode og behøver ikke nødvendigvis at være den samme i hele.

Binomialmodellen kan let udvides til flere perioder. Selvom Black-Scholes-modellen kan beregne resultatet af en udvidet udløbsdato, udvider den binomiale model beslutningspunkterne til flere perioder.

Anvendelser til den binomiale model

Ud over dets anvendelse som metode til beregning af værdien af ​​en option, kan den binomiale model også bruges til projekter eller investeringer med en høj grad af usikkerhed, kapitalbudgettering og ressourcefordelingsbeslutninger og projekter med flere perioder eller en indlejret mulighed for enten at fortsætte eller opgive projektet på bestemte tidspunkter.

Et enkelt eksempel er et projekt, der indebærer boring efter olie. Usikkerheden ved denne type projekter, om det land, der bores, har overhovedet nogen olie, mængden af ​​olie, der kan bores, hvis der findes olie, og den pris, hvorpå olien kan sælges, når den udvindes.

Binomialoptionsmodellen kan hjælpe med at tage beslutninger på hvert punkt i olieboreprojektet. Antag f.eks. At vi beslutter at bore, men oliebrønden vil kun være rentabel, hvis vi finder nok olie, og prisen på olie overstiger et bestemt beløb. Det vil tage en hel periode at bestemme, hvor meget olie vi kan udvinde samt prisen på olie på det tidspunkt. Efter den første periode (f.eks. Et år) kan vi på baggrund af disse to datapunkter beslutte, om vi skal fortsætte med at bore eller opgive projektet. Disse beslutninger kan løbende træffes, indtil et punkt er nået, hvor der ikke er nogen værdi for at bore, på hvilket tidspunkt brønden vil blive opgivet.

Bundlinjen

Binomialmodellen giver en mere detaljeret visning ved at tillade flerperiodsvisninger af den underliggende aktivpris og prisen på optionen i flere perioder samt række mulige resultater for hver periode. Selvom både Black-Scholes-modellen og binomialmodellen kan bruges til at værdsætte indstillinger, har binomialmodellen et bredere interval af applikationer, er mere intuitivt og er lettere at bruge.