At forstå tidsværdien af ​​penge

Tillykke!!! Du har vundet en pengepræmie! Du har to betalingsmuligheder: A: Modtag 10.000 $ nu eller B: Modtag 10.000 $ om tre år. Hvilken mulighed ville du vælge?

Hvad er tidsværdien af ​​penge?

Hvis du er som de fleste mennesker, ville du vælge at modtage $ 10.000 nu. Når alt kommer til alt er tre år lang tid at vente på. Hvorfor udsætter nogen rationel betaling til fremtiden, når han eller hun kunne have det samme beløb nu? For de fleste af os er det bare instinktivt at tage pengene i nuet. Så på det mest basale niveau viser tidsværdien af ​​penge, at alt sammen er ens, det synes bedre at have penge nu snarere end senere.

Men hvorfor er det? En $ 100-regning har den samme værdi som en $ 100-regning et år fra nu, ikke sandt? Selvom regningen er den samme, kan du faktisk gøre meget mere med pengene, hvis du har det nu, fordi du over tid kan tjene mere renter på dine penge.

Tilbage til vores eksempel: Ved at modtage $ 10.000 i dag er du klar til at øge den fremtidige værdi af dine penge ved at investere og få renter over en periode. For valg B har du ikke tid på din side, og den betaling, der modtages om tre år, vil være din fremtidige værdi. For at illustrere har vi leveret en tidslinje:

Hvis du vælger mulighed A, vil din fremtidige værdi være $ 10.000 plus eventuel renter erhvervet i løbet af de tre år. Den fremtidige værdi for Option B ville på den anden side kun være 10.000 $. Så hvordan kan du beregne nøjagtigt, hvor meget mere alternativ A er værd i forhold til mulighed B? Lad os se.

Fremtidige grundlæggende værdier

Hvis du vælger mulighed A og investerer det samlede beløb til en simpel årlig sats på 4, 5%, er den fremtidige værdi af din investering ved udgangen af ​​det første år $ 10.450. Vi ankommer til dette beløb ved at multiplicere hovedbeløbet på 10.000 $ med en rentesats på 4, 5% og derefter tilføje den opnåede rente til hovedbeløbet:

$ 10.000 × 0.045 = $ 450 \ begynde {justeret} & \ $ 10.000 \ gange 0.045 = \ $ 450 \\ \ end {justeret} $ 10.000 × 0.045 = $ 450

$ 450 + $ 10.000 = $ 10.450 \ begynde {rettet} & \ $ 450 + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ \ end {justeret} $ 450 + $ 10.000 = $ 10.450

Du kan også beregne det samlede beløb på et års investering med en simpel manipulation af ovennævnte ligning:

OE = ($ 10.000 × 0.045) + $ 10.000 = $ 10.450 hvor: OE = Original ligning \ begynde {justert} & \ text {OE} = (\ $ 10.000 \ gange 0.045) + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ & \ textbf {hvor :} \\ & \ text {OE} = \ text {Original ligning} \\ \ end {alignet} OE = ($ 10.000 × 0.045) + $ 10.000 = $ 10.450 hvor: OE = Original ligning

Manipulation = $ 10.000 × [(1 × 0.045) +1] = $ 10.450 \ begynde {justeret} & \ text {Manipulation} = \ $ 10.000 \ gange [(1 \ gange 0.045) + 1] = \ $ 10.450 \\ \ end { linie} Manipulation = $ 10.000 × [(1 x 0, 045) +1] = $ 10.450

Endelig ligning = $ 10.000 × (0.045 + 1) = $ 10.450 \ begynde {justeret} & \ tekst {Endelig ligning} = \ $ 10.000 \ gange (0.045 + 1) = \ $ 10.450 \\ \ end {justeret} Endelig ligning = $ 10.000 × (0, 045 + 1) = $ 10.450

Den manipulerede ligning ovenfor er simpelthen en fjernelse af den lignende variabel $ 10.000 (hovedbeløbet) ved at dele hele den oprindelige ligning med $ 10.000.

Hvis de 10.450 $, der er tilbage på din investeringskonto ved udgangen af ​​det første år, forbliver urørt, og du investerede den på 4, 5% i et andet år, hvor meget ville du have? For at beregne dette vil du tage $ 10.450 og multiplicere det igen med 1.045 (0.045 +1). Ved udgangen af ​​to år ville du have $ 10.920, 25.

Beregning af fremtidig værdi

Ovenstående beregning er derefter ækvivalent med følgende ligning:

Fremtidig værdi = $ 10.000 × (1 + 0.045) × (1 + 0.045) \ begynde {justeret} & \ tekst {Future Value} = \ $ 10.000 \ gange (1 + 0.045) \ gange (1 + 0.045) \\ \ slutning {justeret} Fremtidig værdi = 10.000 $ × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Tænk tilbage på matematikklassen og reglen for eksponenter, der siger, at multiplikationen af ​​lignende termer svarer til at tilføje deres eksponenter. I ovenstående ligning er de to lignende udtryk (1+ 0, 045), og eksponenten på hver er lig med 1. Derfor kan ligningen repræsenteres som følgende:

Fremtidig værdi = $ 10.000 × (1 + 0.045) 2 \ begynde {rettet} & \ tekst {Fremtidig værdi} = \ $ 10.000 \ gange (1 + 0.045) ^ 2 \\ \ end {justeret} Fremtidig værdi = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) 2

Vi kan se, at eksponenten er lig med antallet af år, som pengene tjener renter på i en investering. Så ligningen til beregning af den treårige fremtidige værdi af investeringen ser sådan ud:

Fremtidig værdi = $ 10.000 × (1 + 0.045) 3 \ begynde {justeret} & \ tekst {Fremtidig værdi} = \ $ 10.000 \ gange (1 + 0.045) ^ 3 \\ \ end {justeret} Fremtidig værdi = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) 3

Vi behøver dog ikke fortsætte med at beregne den fremtidige værdi efter det første år, derefter det andet år, derefter det tredje år og så videre. Du kan regne det hele på én gang, så at sige. Hvis du kender det aktuelle beløb, du har i en investering, dets afkasthastighed, og hvor mange år du gerne vil have denne investering, kan du beregne den fremtidige værdi (FV) for dette beløb. Det er gjort med ligningen:

FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Fremtidig værdiPV = Nuværende værdi (originalt beløb) i = Rente pr. Periode n = Antal perioder \ begynde {justeret} & \ tekst {FV} = \ tekst { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {FV} = \ text {Future value} \\ & \ text {PV} = \ text {Nuværende værdi ( oprindeligt pengebeløb)} \\ & i = \ tekst {Rentesats pr. periode} \\ & n = \ tekst {Antal perioder} \\ \ ende {justeret} FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Fremtidig værdiPV = Nuværdi (oprindeligt pengebeløb) i = Rentesats per perioden = Antal perioder

Grundlæggende nuværende værdi

Hvis du modtog 10.000 dollars i dag, ville dens nuværende værdi naturligvis være 10.000 dollar, fordi den nuværende værdi er, hvad din investering giver dig nu, hvis du skulle bruge den i dag. Hvis du skulle modtage $ 10.000 på et år, ville den aktuelle værdi af beløbet ikke være $ 10.000, fordi du ikke har det i din hånd nu, i nuet.

For at finde den nuværende værdi af de $ 10.000, du modtager i fremtiden, skal du foregive, at $ 10.000 er den samlede fremtidige værdi af et beløb, du investerede i dag. Med andre ord, for at finde nutidsværdien af ​​de fremtidige $ 10.000, er vi nødt til at finde ud af, hvor meget vi ville have til at investere i dag for at modtage disse $ 10.000 på et år.

For at beregne nutidsværdien eller det beløb, vi skulle investere i dag, skal du trække den (hypotetiske) akkumulerede rente fra $ 10.000. For at opnå dette kan vi tilbagediskontere det fremtidige betalingsbeløb ($ 10.000) med periodens rente. I det væsentlige er alt, hvad du laver, omarrangering af den fremtidige værdi ligning ovenfor, så du kan løse for nutidsværdien (PV). Ovenstående fremtidige værdi ligning kan omskrives som følger:

PV = FV (1 + i) n \ begynde {rettet} & \ tekst {PV} = \ frac {\ tekst {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {justeret} PV = (1 + i) NFV

En alternativ ligning ville være:

PV = FV × (1 + i) −niveau: PV = Nuværende værdi (originalt beløb) FV = Fremtidig værdi = Rente pr. Periode n = Antal perioder \ begynde {justeret} & \ tekst {PV} = \ tekst {FV} \ gange (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {PV} = \ tekst {Nuværende værdi (originalt beløb)} \\ & \ tekst {FV} = \ tekst {Fremtidig værdi} \\ & i = \ tekst {Rentesats pr. Periode} \\ & n = \ tekst {Antal perioder} \\ \ slutning {justeret} PV = FV × (1 + i) −nhere: PV = Nuværende værdi (originalt beløb) FV = Fremtidig værdi = Rente pr. Periode n = Antal perioder

Beregning af nutidsværdi

Lad os gå bagud fra de $ 10.000, der tilbydes i mulighed B. Husk, at de $ 10.000, der skal modtages om tre år, er virkelig den samme som den fremtidige værdi af en investering. Hvis vi havde et år at gå, før vi fik pengene, ville vi tilbagebetale betalingen et år tilbage. Ved hjælp af vores nuværdiformel (version 2) ville den aktuelle værdi af $ 10.000, der skal modtages i et år, på det nuværende toårsmærke være $ 10.000 x (1 + .045) ^-1 = $ 9569.38.

Bemærk, at hvis vi i dag var på etårsmærket, ville de ovennævnte 9.569, 38 dollar blive betragtet som den fremtidige værdi af vores investering et år fra nu.

Fortsætter vi, ved udgangen af ​​det første år, forventer vi at modtage betaling af $ 10.000 om to år. Ved en rente på 4, 5% vil beregningen af ​​nutidsværdien af ​​en forventet betaling på 10.000 $ om to år være $ 10.000 x (1 + .045) ^-2 = $ 9157.30.

På grund af eksponenternes regel behøver vi selvfølgelig ikke at beregne den fremtidige værdi af investeringen hvert år medregnet tilbage fra $ 10.000-investeringen i det tredje år. Vi kunne lægge ligningen mere præcist og bruge $ 10.000 som FV. Så her er hvordan du kan beregne dagens nutidsværdi af de 10.000 dollars, der forventes fra en treårig investering, der tjener 4, 5%:

$ 8.762.97 = $ 10.000 × (1 + .045) −3 \ begynde {justeret} & \ $ 8.762.97 = \ $ 10.000 \ gange (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ end {justeret} $ 8.762.97 = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) -3

Så nutidsværdien af ​​en fremtidig betaling på $ 10.000 er værd $ 8.762, 97 i dag, hvis renten er 4, 5% om året. Med andre ord er det at vælge Option B som at tage 8.762, 97 $ nu og derefter investere det i tre år. Ligningerne ovenfor illustrerer, at valgmulighed A er bedre ikke kun fordi det giver dig penge lige nu, men fordi det tilbyder dig $ 1.237, 03 ($ 10.000 - $ 8.762, 97) mere kontant! Hvis du investerer de $ 10.000, som du modtager fra option A, giver dit valg dig en fremtidig værdi, der er $ 1.411.66 ($ 11.411.66 - $ 10.000) større end den fremtidige værdi af option B.

Nuværende værdi af en fremtidig betaling

Lad os forhindre ante på vores tilbud. Hvad hvis den fremtidige betaling er mere end det beløb, du vil modtage med det samme? Lad os sige, at du kunne modtage enten $ 15.000 i dag eller $ 18.000 på fire år. Beslutningen er nu vanskeligere. Hvis du vælger at modtage $ 15.000 i dag og investere hele beløbet, kan du faktisk ende med et kontantbeløb på fire år, der er mindre end $ 18.000.

Hvordan skal man beslutte? Du kunne finde den fremtidige værdi af $ 15.000, men da vi altid lever i nuet, lad os finde den aktuelle værdi på $ 18.000. Denne gang antager vi, at rentesatserne i øjeblikket er 4%. Husk, at ligningen for nutidig værdi er følgende:

PV = FV × (1 + i) −n \ begynde {justeret} & \ tekst {PV} = \ tekst {FV} \ gange (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {justeret} PV = FV × (1 + i) -n

I ligningen ovenfor er alt, hvad vi laver, diskontering af den fremtidige værdi af en investering. Ved hjælp af ovenstående tal beregnes nutidsværdien af ​​en betaling på $ 18.000 på fire år til $ 18.000 x (1 + 0.04) ^-4 = $ 15.386.48.

Fra ovennævnte beregning ved vi nu, at vores valg i dag er mellem at vælge $ 15.000 eller $ 15.386, 48. Selvfølgelig bør vi vælge at udskyde betaling i fire år!

Bundlinjen

Disse beregninger viser, at tid bogstaveligt talt er penge - værdien af ​​de penge, du har nu, er ikke den samme, som den vil være i fremtiden og vice versa. Så det er vigtigt at vide, hvordan man beregner tidsværdien af ​​penge, så du kan skelne mellem værdien af ​​investeringer, der giver dig afkast på forskellige tidspunkter. (For relateret læsning, se "Tidsværdi af penge og dollar")