Beregning af nuværende og fremtidige værdi af livrenter

På et tidspunkt i dit liv har du måske været nødt til at foretage en række faste betalinger over en periode - f.eks. Husleje eller bilbetalinger - eller har modtaget en række betalinger over en periode, såsom renter fra obligationer eller cd'er. Disse kaldes livrenter (en mere generisk brug af ordet - ikke at forveksle med det specifikke finansielle produkt kaldet en livrente, skønt de to er beslægtede). Hvis du forstår tidsværdien af ​​penge, er du klar til at lære om livrenter og hvordan deres nuværende og fremtidige værdier beregnes.

Hvad er livrenter?

Livrenter er i det væsentlige en række faste betalinger, der kræves fra dig eller betalt til dig med en bestemt frekvens i løbet af en fast tidsperiode. Betalingsfrekvenser kan være årligt, halvårligt (to gange om året), kvartalsvis og månedligt. Der er to grundlæggende livrenter: almindelige livrenter og forfaldne livrenter.

• Almindelig annuitet: Betalinger kræves ved udgangen af ​​hver periode. F.eks. Foretager lige obligationer normalt kuponbetalinger i slutningen af ​​hver sjette måned indtil obligationens udløbsdato.
• Forfaldt livrente: Betalinger kræves i begyndelsen af ​​hver periode. Leje er et eksempel på en forfaldent livrente. Det kræves normalt, at du betaler husleje, når du først flytter ind i begyndelsen af ​​måneden og derefter den første i hver måned derefter.

Da den nuværende og fremtidige værdiberegning for almindelige livrenter og annuiteter er lidt forskellige, diskuterer vi dem separat.

Almindelige livrenter

Beregning af den fremtidige værdi

Hvis du ved, hvor meget du kan investere pr. Periode i en bestemt periode, er den fremtidige værdi (FV) for en almindelig annuitetsformel nyttig til at finde ud af, hvor meget du vil have i fremtiden. Hvis du foretager betalinger på et lån, er den fremtidige værdi nyttig til at bestemme lånets samlede omkostninger. Hvis du ved, hvor meget du planlægger at investere hvert år og den faste afkast, som din livrente garanterer - eller for lån, størrelsen på dine betalinger og den givne rente - kan du nemt bestemme værdien af ​​din konto på ethvert tidspunkt i fremtiden.

Lad os nu gennemgå Eksempel 1. Overvej følgende kontantstrømplan for livrente:

For at beregne den fremtidige værdi af livrente skal vi beregne den fremtidige værdi af hver pengestrøm. Lad os antage, at du modtager $ 1.000 hvert år i de næste fem år, og at du investerer hver betaling til 5% rente. Følgende diagram viser, hvor meget du ville have i slutningen af ​​femårsperioden:

Da vi skal tilføje den fremtidige værdi af hver betaling, har du måske bemærket, at hvis du har en almindelig livrente med mange pengestrømme, vil det tage lang tid at beregne alle fremtidige værdier og derefter tilføje dem sammen. Heldigvis giver matematik en formel, der fungerer som en genvej til at finde den akkumulerede værdi af alle pengestrømme modtaget fra en almindelig annuitet:

FVOrdinary Annuity = C × [(1 + i) n − 1i] hvor: C = Cash flow per periodi = Renterate = Antal betalinger \ begynde {justeret} & \ text {FV} _ {\ text {Almindelig ~ livrente }} = \ text {C} \ gange \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {hvor:} \\ & \ text {C} = \ text {Pengestrøm pr. periode} \\ & i = \ tekst {Rente} \\ & n = \ tekst {Antal betalinger} \\ \ slutning {justeret} FVOrdinary Annuity = C × [i (1 + i) n − 1] hvor: C = Kontantstrøm pr. periodi = Rentehastighed = Antal betalinger

Brug af ovenstående formel til eksempel 1 ovenfor er dette resultatet:

FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10.05] = $ 1000 × [5.53] \ begin {align} \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ højre] \\ & = \ $ 1000 \ gange [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ end {algin} FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] = $ 1000 × [5, 53]

Beregning af nutidsværdien

Bemærk, at forskellen på en cent mellem $ 5.525.64 og $ 5.525.63 skyldes en afrundingsfejl i den første beregning. Hver værdi af den første beregning skal afrundes til den nærmeste øre - jo mere du skal afrunde numre i en beregning, desto mere sandsynligt vil afrundingsfejl opstå. Så ovenstående formel giver ikke kun en genvej til at finde FV'en for en almindelig annuitet, men giver også et mere nøjagtigt resultat.

Den nuværende værdi af en livrente er simpelthen den aktuelle værdi af alle indtægter genereret af den investering i fremtiden. Denne beregning er baseret på begrebet tidsværdi af penge, der siger, at en dollar nu er mere værd end en dollar, der er optjent i fremtiden. På grund af dette bruger nutidsværdiberegningen antallet af tidsperioder, som indkomsten genereres over til at neddæmpe værdien af ​​fremtidige betalinger.

Hvis du gerne vil bestemme dagens værdi af en fremtidig betalingsserie, skal du bruge formlen, der beregner nutidsværdien (PV) af en almindelig annuitet. Dette er den formel, du vil bruge som en del af en beregning af obligationspriser. PV for en almindelig annuitet beregner nutidsværdien af ​​de kuponbetalinger, som du vil modtage i fremtiden.

For eksempel 2 bruger vi den samme livrente-kontantstrømskema som vi gjorde i eksempel 1. For at opnå den samlede diskonterede værdi skal vi tage nutidsværdien af ​​hver fremtidig betaling og som vi gjorde i eksempel 1 tilføje pengestrømme sammen.

Igen tager det en betydelig mængde tid at beregne og tilføje alle disse værdier, især hvis vi forventer mange fremtidige betalinger. Selvom adskillige online-regnemaskiner kan bestemme nutidsværdien af ​​en livrente, er formlen for en almindelig annuitet ikke alt for kompliceret at beregne for hånd, hvis vi bruger en matematisk genvej til PV for en almindelig annuitet.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinary Annuity = C × [i1− (1 + i) −n]

Formlen giver os PV i et par nemme trin. Her er beregningen af ​​annuitet repræsenteret i diagrammet til eksempel 2:

PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [1− (1 + 0, 05) −50.05] = $ 1000 × [4.33] \ begin {align} \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ Stor [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ gange [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ end {algin} PVOrdinary Annuity = $ 1000 ganges [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 × [4.33]

Beregning af den fremtidige værdi

Når du modtager eller betaler pengestrømme for en forfaldent livrente, vises din pengestrømmeplan som følger:

Da hver betaling i serien foretages en periode før, er vi nødt til at tilbagebetale formlen en periode tilbage. En lille ændring af FV-of-an-almindelig annuitetsformel tegner sig for betalinger, der forekommer i begyndelsen af ​​hver periode. I eksempel 3, lad os illustrere, hvorfor denne ændring er nødvendig, når hver $ 1.000-betaling foretages i begyndelsen af ​​perioden snarere end ved udgangen (rente er stadig 5%):

Bemærk, at når betalinger foretages i begyndelsen af ​​perioden, holdes hvert beløb længere i slutningen af ​​perioden. Hvis for eksempel $ 1.000 blev investeret 1. januar snarere end 31. december hvert år, ville den sidste betaling, før vi værdsætter vores investering i slutningen af ​​fem år (den 31. december), have været foretaget et år før (1. januar) snarere end samme dag, som det værdsættes. Den fremtidige værdi af annuitetsformlen lyder derefter:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ højre] \ gange (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Derfor,

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ begynde {justeret} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ højre] \ gange (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ gange5, 53 \ gange1, 05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ slutning { justeret} FVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Livrente på grund

Beregning af nutidsværdien

For nutidsværdien af ​​en annuitetsforfaldsformel er vi nødt til at diskontere formlen en periode fremad, da betalingerne holdes i et kortere tidsrum. Når vi beregner nutidsværdien, antager vi, at den første betaling blev foretaget i dag.

Vi kunne bruge denne formel til beregning af nutidsværdien af ​​dine fremtidige huslejebetalinger som angivet i en lejekontrakt, du underskriver med din udlejer. Lad os sige, at du foretager din første husleje betaling (se eksempel 4 nedenfor) i begyndelsen af ​​måneden og vurderer nutidsværdien af ​​din fem måneders lejekontrakt samme dag. Din beregning af nutidsværdien fungerer som følger:

Vi kan selvfølgelig bruge en formelgenvej til at beregne den aktuelle værdi af en annuitet, der skyldes:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ højre] \ gange (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Derfor,

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ begynde {justeret} PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ venstre [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ højre] \ gange (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ gange4, 33 \ gange1, 05 \\ & = \ $ 4545, 95 \ slutning {justeret} PVAnnuity på grund = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05

Husk, at nutidsværdien af ​​en almindelig annuitet returnerede en værdi på $ 4.329, 48. Den nuværende værdi af en almindelig annuitet er mindre end værdien af ​​en annuitet, der skyldes, at jo længere vi tilbagebetaler en fremtidig betaling, jo lavere er dens nuværende værdi - hver betaling eller pengestrøm i en almindelig annuitet forekommer en periode længere ind i fremtiden.

Tidsværdien af ​​penge

Den fremtidige værdiberegning er baseret på begrebet tidsværdi af penge. Dette betyder ganske enkelt, at en dollar, der optjenes i dag, er mere værd end en dollar, der er optjent i morgen, fordi midler, du kontrollerer nu, kan investeres og optjenes renter over tid. Derfor er den fremtidige værdi af en livrente større end summen af ​​alle dine investeringer, fordi disse bidrag har tjent renter over tid. For eksempel er den fremtidige værdi af $ 1.000, der investeres i dag til 10% rente, $ 1.100 et år fra nu. En enkelt dollar i dag er 1, 10 $ værd om et år på grund af tidsværdien af ​​penge.

Antag, at du foretager årlige betalinger på $ 5.000 til din almindelige livrente i 15 år. Det tjener 9% renter, sammensat årligt.

FV = 5.000 $ × {((((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5000 × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × 2.642 ÷ 0, 09 \ begynde {justeret} FV & = \ 5.000 $ \ gange \ {((((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ $ 5000 \ gange \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ $ 5.000 \ gange 2.642 \ div 0, 09 \\ & = \ $ 5.000 \ gange \ $ 146.804.58 \ slutning {justert} FV = $ 5.000 × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5.000 × {((1, 0915) -1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × 2, 642 ÷ 0, 09

Uden kraften i rentesammensætning er din serie på $ 5.000 bidrag kun værd $ 75.000 ved udgangen af ​​15 år. I stedet for med rentesats er den fremtidige værdi af din annuitet næsten det dobbelte af den på $ 146.804, 58.

For at beregne den fremtidige værdi af en annuitet, skal du simpelthen multiplicere den almindelige fremtidige værdi med 1+ i (rentesatsen). I ovenstående eksempel er den fremtidige værdi af en livrente med de samme parametre simpelthen $ 146.804, 58 x (1 + 0.09) eller $ 160.016.99.

Hensyn til nutidsværdien

Når man beregner den nuværende værdi af en annuitet, er det vigtigt, at alle variabler er ensartede. Hvis annuitet for eksempel genererer årlige betalinger, skal renten også udtrykkes som en årlig rente. Hvis annuitet for eksempel genererer månedlige betalinger, skal rentesatsen også udtrykkes som en månedlig rente.

Antag, at en livrente har en rente på 10%, der genererer årlige betalinger på $ 3.000 for de næste 15 år. Den nuværende værdi af denne livrente er:

= $ 3.000 × (((1- (1 + 0, 1) -15)) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × ((1-.239392) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60608 \ begin {linie } & = \ $ 3.000 \ gange ((((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ gange ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ gange (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ gange 7.60608 \\ & = \ $ 22.818 \ slutning {justeret} = $ 3.000 × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × ((1-.239392) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60608

Nuværende værdi af en livrente

Bundlinjen

Nu kan du se, hvordan annuiteter påvirker, hvordan du beregner den aktuelle og fremtidige værdi af et hvilket som helst penge. Husk, at betalingsfrekvenserne eller antallet af betalinger, og det tidspunkt, hvorpå disse betalinger foretages (hvad enten de er i begyndelsen eller slutningen af ​​hver betalingsperiode), er alle de variabler, du skal redegøre for i dine beregninger.

Når du planlægger pensionering, er det vigtigt at have en god idé om, hvor meget indkomst du kan stole på hvert år. Selvom det kan være relativt let at holde styr på, hvor meget du lægger i arbejdsgiver sponsorerede pensionsplaner, individuelle pensionskonti (IRA) og livrenter, er det ikke altid så nemt at vide, hvor meget du får ud. Heldigvis, når det kommer til fastforrentede livrenter eller planer, der er investeret i fastforrentede værdipapirer, er der en enkel måde at beregne, hvor mange penge du kan forvente at have til rådighed efter pensionering, baseret på hvor meget du lægger på kontoen i dine arbejdsår. .