Kontinuerlig sammensat interesse

Sammensat rente er renter beregnet på den oprindelige hovedstol og også på den akkumulerede rente for tidligere perioder med et depositum eller lån. Effekten af ​​sammensatte renter afhænger af hyppigheden.

Antag en årlig rente på 12%. Hvis vi starter året med $ 100 og sammensættes kun én gang i slutningen af ​​året, vokser hovedstolen til $ 112 ($ 100 x 1, 12 = $ 112). Hvis vi i stedet sammensætter hver måned til 1%, ender vi med mere end 112 dollars i slutningen af ​​året. Det vil sige $ 100 x 1, 01 ^ 12 til $ 112, 68. (Det er højere, fordi vi sammensatte hyppigere.)

Kontinuerligt sammensat returnerer sammensatte det hyppigste af alle. Kontinuerlig sammensætning er den matematiske grænse, som sammensatte renter kan nå. Det er et ekstremt tilfælde af sammensætning, da de fleste renter er sammensat på månedlig, kvartalsvis eller halvårlig basis.

Halvårlig afkast

Lad os først se på en potentielt forvirrende konvention. På obligationsmarkedet refererer vi til et obligationsækvivalentudbytte (eller obligationskvivalentbasis). Dette betyder, at hvis en obligation giver 6% på halvårlig basis, er dens obligation-ækvivalente udbytte 12%.

figur 1

Det halvårlige udbytte er simpelthen fordoblet. Dette er potentielt forvirrende, fordi det effektive udbytte af en 12% obligation-ækvivalentudbytte er 12, 36% (dvs. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Fordobling af det halvårlige udbytte er bare en konvention om navngivning af obligationer. Derfor, hvis vi læser om en 8% -binding sammensat halvårligt, antager vi, at dette henviser til 4% halvårligt udbytte.

Kvartalsvis, månedlig og daglig afkast

Lad os nu diskutere højere frekvenser. Vi antager stadig en årlig markedsrente på 12%. Under konventioner om navngivning af obligationer indebærer det en 6% halvårlig sammensat sats. Vi kan nu udtrykke den kvartalsvise sammensatte rente som en funktion af markedsrenten.

Figur 2

Givet en årlig markedsrente ( r) er den kvartalsvise sammensatte rente ( r _q ) angivet af:

Så for eksempel, hvor den årlige markedsrate er 12%, er den kvartalsvise sammensatte rente 11.825%:

Figur 3

En lignende logik gælder for månedlig sammensætning. Den månedlige sammensatte rente ( r _m ) er angivet her som funktionen af ​​den årlige markedsrente ( r):

Den daglige sammensatte rente ( d) som en funktion af markedsrenten ( r) er givet ved:

Sådan fungerer kontinuerlig sammensætning

Figur 4

Hvis vi øger forbindelsesfrekvensen til dets grænse, sammensættes vi kontinuerligt. Selvom dette muligvis ikke er praktisk, tilbyder den kontinuerligt sammensatte rente forunderlige bekvemme egenskaber. Det viser sig, at den kontinuerligt sammensatte rente er givet ved:

Ln () er den naturlige log, og i vores eksempel er den kontinuerligt sammensatte hastighed derfor:

Vi kommer til det samme sted ved at tage den naturlige log for dette forhold: slutværdien divideret med startværdien.

Det sidstnævnte er almindeligt, når man beregner det kontinuerligt sammensatte afkast for en bestand. For eksempel, hvis bestanden springer fra $ 10 en dag til $ 11 den næste dag, gives det kontinuerligt sammensatte daglige afkast af:

Hvad er så fantastisk ved den kontinuerligt sammensatte rente (eller afkast), som vi vil betegne med r _c ">

Bemærk, at e er eksponentiel funktion. For eksempel, hvis vi starter med $ 100 og kontinuerligt sammensættes til 8% over tre år, gives den endelige formue af:

Diskontering til nutidsværdien (PV) sammensættes kun omvendt, så nutiden af ​​en fremtidig værdi (F), der kontinuerligt er sammensat til en rente på ( r _c ), er givet ved:

Hvis du for eksempel modtager $ 100 om tre år under en kontinuerlig sats på 6%, er dens nuværende værdi angivet af:

Skalering over flere perioder

Den bekvemme egenskab ved det kontinuerligt sammensatte afkast er, at det skalerer over flere perioder. Hvis afkastet for den første periode er 4% og afkastet for den anden periode er 3%, er afkastet på to perioder 7%. Overvej at vi starter året med $ 100, som vokser til $ 120 ved udgangen af ​​det første år og derefter $ 150 ved udgangen af ​​det andet år. Det kontinuerligt sammensatte afkast er henholdsvis 18, 23% og 22, 31%.

Hvis vi blot tilføjer disse sammen, får vi 40, 55%. Dette er to-periodes afkast:

Teknisk set er det kontinuerlige afkast tid konsistent. Tidskonsistens er et teknisk krav til værdi ved risiko (VAR). Dette betyder, at hvis et enkeltperiodes afkast er en normalt distribueret tilfældig variabel, vil vi gerne have, at flere periodes tilfældige variabler også fordeles normalt. Endvidere distribueres det kontinuerligt sammensatte afkast med flere perioder normalt (i modsætning til f.eks. Et simpelt procentvis afkast).

Bundlinjen

Vi kan omformulere de årlige renter til halvårlige, kvartalsvise, månedlige eller daglige renter (eller afkastrenter). Den mest hyppige sammensætning er kontinuerlig sammensætning, hvilket kræver, at vi bruger en naturlig log og en eksponentiel funktion, som ofte bruges til finansiering på grund af dets ønskelige egenskaber - det skaleres let over flere perioder, og det er tidskonsistent.